2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.2 圆锥曲线的综合应用撬题 文

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1、2018高考数学异构异模复习考案第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用撬题文1．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝x－3＋y＝3y－1<0，所以－0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D

2、.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－，0)∪(0，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)答案　A解析　如图所示，由题意知BC为双曲线的通径，所以

3、BC

4、＝，则

5、BF

6、＝.又

7、AF

8、＝c－a，因为BD⊥AC，DC⊥AB，所以点D在x轴上，由Rt△BFA∽Rt△DFB，得

9、BF

10、2＝

11、AF

12、·

13、FD

14、，即2＝(c－a)·

15、FD

16、，所以

17、FD

18、＝，则由题意知

19、得0<<1，而双曲线的渐近线斜率为±，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A.B.C．3D．2答案　A解析　解法一：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，

20、F1F2

21、＝2c.由余弦定理4c2＝

22、PF1

23、2＋

24、PF2

25、2－2

26、PF1

27、·

28、PF2

29、cos.而

30、PF1

31、＋

32、PF2

33、＝2a1，

34、

35、PF1

36、－

37、PF2

38、

39、＝2a2，可得a＋3a＝4c2.令a1＝2ccosθ，a2＝sinθ，即＋＝2cosθ＋

40、sinθ＝2＝＝sin故最大值为，故选A.解法二：不妨设P在第一象限，

41、PF1

42、＝m，

43、PF2

44、＝n.在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝4c2.设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则＋＝＝＝.∴2＝＝＝，易知2－＋1的最小值为.故max＝.故选A.4.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若

45、能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．解　(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP.由得x＝，即xP＝.将点的坐标代入直线l的方程得

46、b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．5.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①设M为AB的中点

47、，则M，代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m<－或m>.(2)令t＝∈∪，则

48、AB

49、＝·，且O到直线AB的距离d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝

50、AB

51、·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.6．如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)由已知，点(，1)在椭圆E

52、上，因此，