2018高考数学异构异模复习 第十四章 推理与证明 14.3 数学归纳法撬题 理

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1、2018高考数学异构异模复习考案第十四章推理与证明14.3数学归纳法撬题理1．已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nnan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较n与e的大小；(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x<0时，f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减．故f(x)的单调递增区间为(－∞

2、，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x>0时，f(x)

3、的定义，②，算术几何平均不等式，bn的定义及①得Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn≤＋＋＋…＋＝b1＋b2＋…＋bn·＝b1＋b2＋…＋bn<＋＋…＋＝1a1＋2a2＋…＋nan

4、a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}．令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．解　(1)S6＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,

5、6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，所以f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝(t∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k

6、)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均

7、成立．3.函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：＜an≤.解　(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.①当10，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函数．②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函数；③当a>2时，若x

8、∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1,0)是增函数；若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)是减函数；若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函数．(2)证明：由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，即ln(x＋1)>(x>0)．又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0,3)是减函数．当x∈(0,3)时，f(x)