2018版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用 理

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1、第五章平面向量5.4平面向量的综合应用理1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义

2、a

3、＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量

4、问题解决几何问题．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝

5、F

6、

7、s

8、cosθ(θ为F与s的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.2．若直线l的方程为：Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请

9、在括号中打“√”或“×”)(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)1．(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角

10、形D．等腰直角三角形答案　B解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，∴

11、

12、＝＝2，

13、

14、＝＝4，

15、

16、＝＝6，∴

17、

18、2＋

19、

20、2＝

21、

22、2，∴△ABC为直角三角形．2．已知在△ABC中，

23、

24、＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则

25、

26、等于(　　)A．6B．5C．4D．3答案　D解析　在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，又·＝

27、

28、·

29、

30、·cosA＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4

31、

32、2＝68－32＝36，解得

33、

34、＝3，故选D.3．(2017·武汉质检)平面直角坐

35、标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．答案　x＋2y－4＝0解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则

36、2a－b

37、的最大值为________．答案　4解析　设a与b夹角为α，∵

38、2a－b

39、2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4

40、a

41、

42、b

43、cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即

44、2a－b

45、2∈[0,16]，∴

46、2a－b

47、∈[0,4]．∴

48、2a－b

49、的最大值为4.

50、5．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.答案　300解析　W＝F·s＝

51、F

52、

53、s

54、cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J).题型一　向量在平面几何中的应用例1　(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．内心B．外心C．重心D．垂心答案　(1)　(2)C解析　(1

55、)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，又∵＝＋，∴·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝

56、

57、2＋

58、

59、

60、

61、cos60°－

62、

63、2＝1＋×

64、

65、－

66、

67、2＝1.∴

68、

69、＝0，又

70、

71、≠0，∴

72、

73、＝.(2)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．引申探究本例(2)中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△AB