2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最值 理

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1、第2课时　导数与函数的极值、最值题型一　用导数解决函数极值问题命题点1　根据函数图象判断极值例1　(1)(2016·青岛模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f

2、(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案　(1)C　(2)D解析　(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．命题点2　求函数的极值例2　(2017·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，

3、f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在

4、(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．命题点3　已知极值求参数例3　(1)(2016·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)(2017·福州质检)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)A．(2，)B．[2，)C．(2，)D．[2，)答案　(

5、1)－7　(2)C解析　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋恒成立，a≤2；当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x

6、＋恒成立，a≥.因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，实数a的取值范围是(2，)．思维升华　(1)求函数f(x)极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．　(1)函数f(x)＝(x2

7、－1)2＋2的极值点是(　　)A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0(2)函数y＝2x－的极大值是________．答案　(1)C　(2)－3解析　(1)∵f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－10.当01时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．(2)y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.当x<－1或x>0时，y′

8、>0；当－1