2018年高考数学 考点一遍过 专题37 双曲线 文

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1、考点37双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.一、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：.（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞

4、0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且，如图2所示．图1图2注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．（6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双

5、曲线方程可设为．二、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形范围，，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0)下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c)顶点轴线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴；实轴长

6、A1A2

7、＝2a，虚轴长

8、B1B2

9、＝2b渐近线离心率e2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．考向一双曲线的定义

10、和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,

11、PF1

12、=2

13、PF2

14、,则cos∠F1PF2=A．B．C．D．【答案】C又

15、F1F2

16、=2c=4,∴cos∠F1PF2==.典例2设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且,则的面积为A．4B．8C．

17、24D．48【答案】C【解析】由P是双曲线上的一点和可知,,解得,,又,所以为直角三角形,所以的面积S=×6×8=24,故选C.1．若双曲线=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则

18、PF

19、+

20、PA

21、的最小值是　　　. 考向二求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.典例3已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条

22、渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________.【答案】而的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍,所以的一条渐近线的倾斜角为,其斜率,即的一条渐近线为,即.而,解得,,所以的方程为.典例4如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.且a=1,c=3,所以b2=c2-a2=8.于是所求动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).2．已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(,)在双曲线的右支上,且

23、PF1

24、=3

25、PF2

26、,·=0,求双曲线的标准方程.考向三

27、双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.典例5设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】A，解得，所以，所以渐近线方程为典例6如图,已知F1、F2分别为双曲线C:的左、