2018年高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列学案 苏教版选修5

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1、2.3　第一课时　等比数列的概念及通项公式　预习课本P49～53，思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么？它和等差数列有什么不同？(2)等比数列的通项公式怎样表述？(3)怎样证明一个数列是等比数列？　1．等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．通常用字母q表示．[点睛]　(1)“从第二项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一

2、常数q”，q是等比数列的公比，即q＝或q＝.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比数列的通项公式首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.[点睛]　(1)在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项；(2)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数．1．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是_____

3、___．解析：∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝－3，∴a5＝405.答案：4052．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6＝______.解析：由题知a6＝a1q5＝32×5＝－1.答案：－13．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是________．解析：若数列{an}是等比数列，则数列中an≠0，即a≠1且a≠0.答案：a≠0且a≠14．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.解析：由题意知：q3＝＝，∴q

4、＝.答案：等比数列的通项公式[典例]　已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．[解]　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.当q＝时，a1＝18，此时an＝18×n－1＝2×33－n；当q＝3时，a1＝，此时an＝×3n－1＝2×3n－3.等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求a

5、n，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　　[活学活用]1．在等比数列{an}中，若a1＝，a7＝27，试求an.解：由a7＝a1q6，得27＝·q6.∴q6＝272＝36.∴q＝±3.当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.2．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.解：法一：∵a3＋a6＝36，a

6、4＋a7＝18，∴a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18，②得q＝，∴a1＋a1＝36，∴a1＝128，而an＝a1qn－1，∴＝128×n－1，∴n＝9.法二：∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)，∴q＝＝＝，而a3＋a6＝a3(1＋q3)，∴a3＝＝＝32.∵an＝a3qn－3，∴＝32×n－3，∴n＝9.等比数列的判断与证明[典例]　(1)若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．(2)已知等比数列{an}的通项公式

7、an＝3·n－1，且bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，求证{bn}成等比数列．[解]　(1)由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.[答案]　an＝3·(－1)n－1(2)证明：∵an＝3·n－1，∴bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n＝33n－3＋33n－2＋33n－1＝33n－3·

8、＝3n－3，∴＝3，当n＝1时，b1＝，∴{bn}是以为首项，公比为的等比数列．判断或证明数列为等比数列常用的方法(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是等比数列．[活学活用]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a