2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.4二次函数的再研究与幂函数学案文北师大版

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1、§2.4　二次函数与幂函数最新考纲考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题．3.了解幂函数的概念．4.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f

2、(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上是减少的；在x∈上是增加的在x∈上是增加的；在x∈上是减少的对称性函数的图像关于x＝－对称2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常量．(2)常见的5种幂函数的图像(3)常见的5种幂函数的性质函数　特征

3、　性质　y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

4、x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

5、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇知识拓展1．幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f

6、(x)>0，当时，恒有f(x)<0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　×　)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)(4)函数y＝是幂函数．(　×　)(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)题组二　教材改编2．已知幂函数f(x)

7、＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)A.B．1C.D．2答案　C解析　由幂函数的定义，知∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内是减少的，则a的取值范围是(　　)A．a≥3B．a≤3C．a＜－3D．a≤－3答案　D解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内是减少的可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.题组三　易错自纠4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函

8、数，则a等于(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是(　　)答案　D解析　由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.6．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．答案　－1解析　函数

9、y＝2x2－6x＋3的图像的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上是减少的，∴ymin＝2－6＋3＝－1.题型一　求二次函数的解析式典例(1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________．答案　f(x)＝x2－2x＋1解析　依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图像过点(0,1)，∴4a－1＝1，∴a＝，∴f(x)＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝_

10、_______.答案　x2＋2x解析　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f