八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考练习新版北师大版

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1、三角形的证明专题一　等腰三角形的性质与判定1.(2017·山东滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(B　)　　　　　　　　　　　　　　A.40°B.36°C.30°D.25°2.如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE.①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)　　　　　; (2)请选择一个真命

2、题进行证明(先写出所选命题,然后证明).(1)解①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.(2)证明①②⇒③方法一:∵AB=AC,∴∠B=∠C.又AD=AE,∴∠ADG=∠AEG.∵∠ADG=∠B+∠BAD,∠AEG=∠C+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,则△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.方法二:过点A作△ABC的高AG,∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=CG.又AD=AE,AG⊥DE,∴DG=EG.∵BD=BG-DG,CE=CG-GE,∴BD

3、=CE.专题二　等边三角形的性质与判定3.导学号99804031如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.证明∵DC=DB,∴∠B=∠DCB=30°(等边对等角).∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又AD=DC,∴△ADC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).4.导学号99804032如图,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.解∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°

4、.∵∠1=∠2=∠3,∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠BCA-∠3,即∠CAF=∠ABD=∠BCE.在△ABD和△BCE和△CAF中,∴△ABD≌△BCE≌△CAF(ASA).∴AD=BE=CF,BD=CE=AF.∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,即FD=DE=EF.∴△DEF是等边三角形.∴∠FED=60°.∴∠BEC=180°-∠FED=180°-60°=120°.5.导学号99804033如图所示,等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证:△PQC为

5、等边三角形.证明在等边△ABC和等边△DCE中,BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△BCD和△ACE中,所以△BCD≌△ACE(SAS).所以∠1=∠2.因为∠ACB=∠DCE=60°所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°.所以∠BCQ=∠ACP.在△BCQ和△ACP中,所以△BCQ≌△ACP.所以CQ=CP.又因为∠QCP=60°,所以△PQC为等边三角形.专题三　直角三角形的性质与判定6.如图所示,在△ABC中

6、,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.证明在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.∴△ABC是直角三角形.7.导学号99804034如图所示,点P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且PB=BQ,连接CQ,若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ.求证:△PQC是直角三

7、角形.证明∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5,∴设PA=3a,PB=4a,PC=5a.在△PBQ中,∵PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,∴△PBQ是等边三角形.∴PQ=4a.在△PQC中,∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2,∴△PQC是直角三角形.专题四　线段垂直平分线与角平分线性质的应用8.(2016·贵州毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D　)A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点9.(2017·湖南益阳中考)如图,在△

8、ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b　. 10.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,求BE的长.解∵∠ACB=90°,FD⊥AB,∴∠ACB=∠FDB=90°.∵∠F=30°,∴∠A=∠F=3