2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课后作业文

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1、8.5 椭圆[重点保分两级优选练]A级一、选择题1.(2018·江西五市八校模拟)已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的焦点坐标为(  )A.(±,0)B.(0,±)C.(±,0)或(±,0)D.(0,±)或(±,0)答案 B解析 因为正数m是2和8的等比中项,所以m2=16,则m=4,所以圆锥曲线x2+=1即为椭圆x2+=1,易知其焦点坐标为(0,±),故选B.2.(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示(  )A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上

2、的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆答案 D解析 因为(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-<0,结合θ∈(0,π),知sinθ>0,cosθ<0,又sinθ+cosθ=>0,所以sinθ>-cosθ>0,故>>0,因为x2sinθ-y2cosθ=1可化为+=1,所以方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.故选D.3.(2018·湖北八校联考)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(  )A.B.C.D.答案 B解析 由题意知

3、a=3,b=,c=2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,∵OM⊥F1F2,∴PF2⊥F1F2,∴

4、PF2

5、==.又∵

6、PF1

7、+

8、PF2

9、=2a=6,∴

10、PF1

11、=2a-

12、PF2

13、=,∴=×=,故选B.4.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )A.B.C.D.答案 A解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,∴=

14、,∴e==== =.故选A.5.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.答案 C解析 因为椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=,n2=+,所以+=c2,化为=,所以e==.故选C.6.(2017·荔湾区

15、期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆,测得近地点距地面m千米,远地点距地面n千米,地球半径为r千米,则该飞船运行轨道的短轴长为(  )A.2千米B.千米C.2mn千米D.mn千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆,设长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,则近地点A距地心为a-c,远地点B距地心为a+c.∴a-c=m+r,a+c=n+r,∴a=+r,c=.又∵b2=a2-c2=2-2=mn+(m+n)r+r2=(m+r)(n+r).∴b=,∴短轴长为2b=2千米,故选A.7.(2017·九江期

16、末)如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以

17、OF1

18、为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.-1D.答案 C解析 连接AF1,∵F1F2是圆O的直径,∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2,又∵△F2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,∴∠AF2F1=∠AF2B=30°,因此,在Rt△F1AF2中,

19、F1F2

20、=2c,

21、F1A

22、=

23、F1F2

24、=c,

25、F2A

26、=

27、F1F2

28、=c.根据椭圆的定义,得2a=

29、F1A

30、+

31、F2A

32、=(1+)c,解得a

33、=c,∴椭圆的离心率为e==-1.故选C.8.(2018·郑州质检)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是(  )A.B.C.D.答案 C解析 设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知△FMN的周长为L=

34、MN

35、+

36、MF

37、+

38、NF

39、=

40、MN

41、+(2-

42、ME

43、)+(2-

44、NE

45、).因为

46、ME

47、+

48、NE

49、≥

50、MN

51、,所以

52、MN

53、-

54、ME

55、-

56、NE

57、≤0,当直线MN过点E时取等号,所以L=4+

58、MN

59、-

60、ME

61、-

62、NE

63、≤4,即直线x=a过椭圆的右焦点E时,△FMN的周长最大,此时S△FMN=×

64、M

65、N

66、×

67、EF

68、=××2=,故选C.9.如图所示,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层椭圆方程为+=1(a>b>0

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1、8.5 椭圆[重点保分两级优选练]A级一、选择题1.(2018·江西五市八校模拟)已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的焦点坐标为(  )A.(±,0)B.(0,±)C.(±,0)或(±,0)D.(0,±)或(±,0)答案 B解析 因为正数m是2和8的等比中项,所以m2=16,则m=4,所以圆锥曲线x2+=1即为椭圆x2+=1,易知其焦点坐标为(0,±),故选B.2.(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角,且sinθ+cosθ=,则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示(  )A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上

2、的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆答案 D解析 因为(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,所以sinθcosθ=-<0,结合θ∈(0,π),知sinθ>0,cosθ<0,又sinθ+cosθ=>0,所以sinθ>-cosθ>0,故>>0,因为x2sinθ-y2cosθ=1可化为+=1,所以方程x2sinθ-y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆.故选D.3.(2018·湖北八校联考)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(  )A.B.C.D.答案 B解析 由题意知

3、a=3,b=,c=2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,∵OM⊥F1F2,∴PF2⊥F1F2,∴

4、PF2

5、==.又∵

6、PF1

7、+

8、PF2

9、=2a=6,∴

10、PF1

11、=2a-

12、PF2

13、=,∴=×=,故选B.4.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )A.B.C.D.答案 A解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,∴=

14、,∴e==== =.故选A.5.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.答案 C解析 因为椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),所以c2=a2-b2=m2+n2.因为c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,所以c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2=,n2=+,所以+=c2,化为=,所以e==.故选C.6.(2017·荔湾区

15、期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆,测得近地点距地面m千米,远地点距地面n千米,地球半径为r千米,则该飞船运行轨道的短轴长为(  )A.2千米B.千米C.2mn千米D.mn千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆,设长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,则近地点A距地心为a-c,远地点B距地心为a+c.∴a-c=m+r,a+c=n+r,∴a=+r,c=.又∵b2=a2-c2=2-2=mn+(m+n)r+r2=(m+r)(n+r).∴b=,∴短轴长为2b=2千米,故选A.7.(2017·九江期

16、末)如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以

17、OF1

18、为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.-1D.答案 C解析 连接AF1,∵F1F2是圆O的直径,∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2,又∵△F2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,∴∠AF2F1=∠AF2B=30°,因此,在Rt△F1AF2中,

19、F1F2

20、=2c,

21、F1A

22、=

23、F1F2

24、=c,

25、F2A

26、=

27、F1F2

28、=c.根据椭圆的定义,得2a=

29、F1A

30、+

31、F2A

32、=(1+)c,解得a

33、=c,∴椭圆的离心率为e==-1.故选C.8.(2018·郑州质检)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是(  )A.B.C.D.答案 C解析 设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知△FMN的周长为L=

34、MN

35、+

36、MF

37、+

38、NF

39、=

40、MN

41、+(2-

42、ME

43、)+(2-

44、NE

45、).因为

46、ME

47、+

48、NE

49、≥

50、MN

51、,所以

52、MN

53、-

54、ME

55、-

56、NE

57、≤0,当直线MN过点E时取等号,所以L=4+

58、MN

59、-

60、ME

61、-

62、NE

63、≤4,即直线x=a过椭圆的右焦点E时,△FMN的周长最大,此时S△FMN=×

64、M

65、N

66、×

67、EF

68、=××2=,故选C.9.如图所示,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层椭圆方程为+=1(a>b>0

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