2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文

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1、8．5　椭圆[知识梳理]1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a，且2a>

9、F1F2

10、}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>

13、F1F2

14、时，轨迹为椭圆；当2a＝

15、F1F2

16、时，轨迹为线段F1F2；当2a<

17、F1F2

18、时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形续表3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到

19、Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

20、AB

21、＝

22、x1－x2

23、＝

24、y1－y2

25、.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.5．必记结论(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，

26、OP

27、有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，

28、OP

29、有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测

30、]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　)A．10B．20C

31、．2D．4答案　D解析　因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案　或解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，∴P点坐标为或.3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>

32、b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　A解析　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.(2)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案　－1解析　由已知得直线y＝(x＋c)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°

33、，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝c，由点M在椭圆Γ上知：c＋c＝2a，故e＝＝－1.题型1　椭圆的定义及应用　　已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)A．2B．3C．5D．7应用椭圆的定义．答案　D解析　根据椭圆的定义

34、PF1

35、＋

36、PF2

37、＝2a＝10，得

38、PF2

39、＝7，故选D.[条件探究]　若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且

40、OM

41、＝3”，求点P到椭圆左焦点的距离？解　由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得

42、PF2

43、＝6，再利用椭圆定义易知

44、PF1

45、＝4.　　(2018·漳浦县校级月

46、考)椭圆＋y2＝1上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求·的最大值与最小值；(2)设∠F1PF2＝θ，求证：S△F1PF2＝tan.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解　(1)设P(x，y)，∴F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2－2，∵x2∈[0,4]，∴x2－2∈[－2,1]．∴·的最大值为1，最小值为－2