2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第51讲 双曲线学案

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1、第51讲　双曲线考纲要求考情分析命题趋势1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景．3．理解数形结合的思想.2017·全国卷Ⅰ，152017·全国卷Ⅱ，92017·北京卷，92017·天津卷，52017·江苏卷，81.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；确定双曲线焦点的位置．2．求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.分值：5分1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，

2、F2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P＝，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.(1)当__a＜c__时，点P的轨迹是双曲线；(2)当__a＝c__时，点P的轨迹是两条射线；(3)当__a＞c__时，点P不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：__坐标轴__，对称中心

3、：__原点__顶点A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝____，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝__a2＋b2__实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝__2b__；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线－＝0(a＞0，b＞0)的距离为b.如右图△OFH是分别以边a，b，c为边长的直角三角形．(2)如下图：＋＝

4、1(a＞b＞0)　　　－＝1(a＞0，b＞0)则有：P1，P2两点坐标都为，即＝＝.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　×　)(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)(3)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)(4)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)解析(1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲

5、线的一支，而非双曲线的全部．(2)错误．因为＝8＝，表示的轨迹为两条射线．(3)错误．当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．(4)正确．因为－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即－＝0，所以当λ＞0时，－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为－＝0，即－＝0，即±＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(　C　)A．28　　B．14－8　

6、　　　C．14＋8　　D．8解析由双曲线定义知，－＝4，－＝4，∴＋－(＋)＝8.又＋＝＝7，∴＋＝7＋8.∴△PF2Q的周长为14＋8.3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　C　)A．2　　B．2　　　　C．4　　D．4解析双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，所以实轴长2a＝4，故选C．4．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　C　)A．4　　B．3　　C．2　　D．1解析双曲线－＝1的渐近线方程为±＝0.整理得3x±ay＝0，故a＝2，故选C．5．(2017·北京卷)

7、若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝__2__.解析由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以＝，解得m＝2.一　双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义和标准方程中的注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．【例1】(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心

8、率等于，则C的方程是(　B　)A．－＝1　　B．－＝1C．－＝1　　D．－＝1(2)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF1F2的面积等于(　C　)A．4　　B．8　　　　C．24　　D．48(3)已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则

9、AP

10、＋

11、AF2

12、的最小值为(　C　)A．＋4　　B．－4C．－2　　D