2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算学案 文

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1、2.10　导数的概念及运算[知识梳理]1．变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2．导数的运算[诊断自测]1．概念思辨(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)(2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(4)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(选修A1－1P74思考)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及

2、邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于(　　)A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2答案　C解析　Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.故选C.(2)(选修A1－1P85T7)f(x)＝cosx在处的切线的倾斜角为________．答案　解析　f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f′＝－1，tanα＝－1，所以α＝.3．小题热身(1)(2017·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)A．1B．－1C．2D．－2答案

3、　A解析　f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，对f(x)求导得f′(x)＝，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.故选A.(2)(2017·太原模拟)函数f(x)＝xex的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________．答案　y＝2ex－e解析　∵f(x)＝xex，∴f(1)＝e，f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.题型1　导数的定义及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知函数f(x)＝＋1，则的值为(　　)A．－B.C.D．0用定义法

4、．答案　A解析　由导数定义，＝－＝－f′(1)，而f′(1)＝.故选A.　已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则＋1的值为(　　)A．1B．2C．3D．4用定义法．答案　C解析　令x－2＝Δx，x＝2＋Δx，则原式变为＋1＝f′(2)＋1＝3.故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1．导数定义中，x在x0处的增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，解题时要将分子、分母中的增量统一．2．导数定义＝f′(x0)等价于＝f′(x0)．3．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤：冲关针对训练用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数．解　记f(x)＝，则Δy＝f(1＋

5、Δx)－f(1)＝－1＝＝＝，＝－，∴＝＝－.∴y′

6、x＝1＝－.题型2　导数的计算　求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝；(3)y＝－sin.解　(1)解法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)·(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋

7、11.方法技巧导数计算的原则和方法1．原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，见典例(1)；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导，见典例(2)；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导，见典例(3)．冲关针对训练1．(2017·温州月考)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1

8、)＝(　　)A．－eB．－1C．1D．e答案　B解析　∵f(x)＝2xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(lnx)′＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.故选B.2．求下列函数的导数：(1)y＝(＋1)；(2)y＝cos.解　(1)∵y＝·－＋－1＝－x＋x，∴y′＝－(x)′＋(x)′＝－x－x＝－.(2)y＝cos＝－sin2x＝－2sinxcosx.y′＝－2cos2x＋2sin2x＝－2(cos2x－sin2x)＝－2cos2x.题型3　曲线的切线问题角度1　求曲线的切线方程