2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算学案 文

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1、2.10 导数的概念及运算[知识梳理]1.变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2.导数的运算[诊断自测]1.概念思辨(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(  )(2)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(  )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(  )(4)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.(  )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×                   2.教材衍化(1)(选修A1-1P74思考)若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及

2、邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于(  )A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2答案 C解析 Δy=(1+Δy)-1=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-1=2(Δx)2+4Δx,∴=2Δx+4.故选C.(2)(选修A1-1P85T7)f(x)=cosx在处的切线的倾斜角为________.答案 解析 f′(x)=(cosx)′=-sinx,f′=-1,tanα=-1,所以α=.3.小题热身(1)(2017·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为(  )A.1B.-1C.2D.-2答案

3、 A解析 f(x+1)=,故f(x)=,即f(x)=2-,对f(x)求导得f′(x)=,则f′(1)=1,故所求切线的斜率为1.故选A.(2)(2017·太原模拟)函数f(x)=xex的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________.答案 y=2ex-e解析 ∵f(x)=xex,∴f(1)=e,f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.题型1 导数的定义及应用                     已知函数f(x)=+1,则的值为(  )A.-B.C.D.0用定义法

4、.答案 A解析 由导数定义,=-=-f′(1),而f′(1)=.故选A. 已知f′(2)=2,f(2)=3,则+1的值为(  )A.1B.2C.3D.4用定义法.答案 C解析 令x-2=Δx,x=2+Δx,则原式变为+1=f′(2)+1=3.故选C.方法技巧由定义求导数的方法及解题思路1.导数定义中,x在x0处的增量是相对的,可以是Δx,也可以是2Δx,解题时要将分子、分母中的增量统一.2.导数定义=f′(x0)等价于=f′(x0).3.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的求解步骤:冲关针对训练用导数的定义求函数y=在x=1处的导数.解 记f(x)=,则Δy=f(1+

5、Δx)-f(1)=-1===,=-,∴==-.∴y′

6、x=1=-.题型2 导数的计算 求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=;(3)y=-sin.解 (1)解法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,所以y′=3x2+12x+11.解法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+

7、11.方法技巧导数计算的原则和方法1.原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.2.方法(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导,见典例(1);(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导,见典例(2);(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导,见典例(3).冲关针对训练1.(2017·温州月考)已知函数f(x)的导函数f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1

8、)=(  )A.-eB.-1C.1D.e答案 B解析 ∵f(x)=2xf′(1)+lnx,∴f′(x)=[2xf′(1)]′+(lnx)′=2f′(1)+,∴f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1.故选B.2.求下列函数的导数:(1)y=(+1);(2)y=cos.解 (1)∵y=·-+-1=-x+x,∴y′=-(x)′+(x)′=-x-x=-.(2)y=cos=-sin2x=-2sinxcosx.y′=-2cos2x+2sin2x=-2(cos2x-sin2x)=-2cos2x.题型3 曲线的切线问题角度1 求曲线的切线方程 

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