2018届高考数学一轮复习 配餐作业38 基本不等式(含解析)理

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1、配餐作业(三十八) 基本不等式(时间:40分钟)一、选择题1.已知a,b∈(0,1)且a≠b,下列各式中最大的是(  )A.a2+b2B.2C.2abD.a+b解析 只需比较a2+b2与a+b。由于a,b∈(0,1),∴a20)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4解析 y=x+的定义域为{x

2、x≠0},当x>0时,y≥2,当x<0时,y

3、≤-2,无最小值,故A项不正确;y==+≥2,当且仅当=1时取等号,∵≥,∴取不到“=”,故B项不正确;∵x>0时,3x+≥2=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,∴y=2-有最大值2-4,故C项不正确,D项正确。答案 D3.若00,∴y=x(3-2x)=×2x(3-2x)≤2=当且仅当x=时取等号,∴y=x(3-2x)的最大值是。故选D。答案 D4.设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有(  )A.最

4、大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54解析 因为x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y≥2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54。故选D。答案 D5.若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解析 log4(3a+4b)=log2,可得3a+4b=ab,且a>0,b>0,=1,即+=1,所以a+b=(a+b)=7++≥7+2=7+4,当且仅当a=4+2,b=3+2时取等号。故选D。答案 D6.设a>0,若关于x的不等式x+

5、≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为(  )A.16B.9C.4D.2解析 x>1,x+=(x-1)++1≥2+1=2+1≥5。所以2≥4,≥2,a≥4。故选C。答案 C二、填空题7.当x≥4时,x+的最小值为________。解析 ∵x≥4,∴x-1≥3。∵函数y=x+在[3,+∞)上为增函数,∴当x-1=3时,y=(x-1)++1有最小值。答案 8.若a>0,b>0,a+b=1,则ab+的最小值为________。解析 ab≤2=,当且仅当a=b=时取等号。y=x+在x∈上为减函数。∴ab+的最小值为+4=。答案 

6、9.已知x>-1,则函数y=的值域为________。解析 y==(x+1)++5,因为x>-1,所以x+1>0,则y≥2+5=9(当且仅当x=1时取等号)。答案 [9,+∞)三、解答题10.已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值。解析 由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1。∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0。∴(3+1)(-1)≥0。∴≥1。∴xy≥1。当且仅当x=y=1时,等号成立。∴xy的最小值为

7、1。(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·2。∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0。∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0。∴x+y≥2。当且仅当x=y=1时取等号。∴x+y的最小值为2。答案 (1)1 (2)211.(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽

8、的通道,如图。设矩形温室的室内长为x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位:m2)。(1)求S关于x的函数关系式;(2)求S的最大值。解析 (1)由题设,得S=(x-8)=-2x-+916,x∈(8,450)。(2)因为8

9、,y都是正数,且x+y=1,则+的最小值为(  )A.B.2C.D.3解析 由题意,知x+2>0,y+1>0,(x+2)+(y+1)=4,则+=[(x+2)+(y+1)]·=≥=(当且仅当x=,y=时,取等号),故选C。答案 C2.(2017·沈阳模拟)若两正数a,c满足a+2c+2ac=

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1、配餐作业(三十八) 基本不等式(时间:40分钟)一、选择题1.已知a,b∈(0,1)且a≠b,下列各式中最大的是(  )A.a2+b2B.2C.2abD.a+b解析 只需比较a2+b2与a+b。由于a,b∈(0,1),∴a20)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4解析 y=x+的定义域为{x

2、x≠0},当x>0时,y≥2,当x<0时,y

3、≤-2,无最小值,故A项不正确;y==+≥2,当且仅当=1时取等号,∵≥,∴取不到“=”,故B项不正确;∵x>0时,3x+≥2=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,∴y=2-有最大值2-4,故C项不正确,D项正确。答案 D3.若00,∴y=x(3-2x)=×2x(3-2x)≤2=当且仅当x=时取等号,∴y=x(3-2x)的最大值是。故选D。答案 D4.设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有(  )A.最

4、大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54解析 因为x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y≥2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54。故选D。答案 D5.若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解析 log4(3a+4b)=log2,可得3a+4b=ab,且a>0,b>0,=1,即+=1,所以a+b=(a+b)=7++≥7+2=7+4,当且仅当a=4+2,b=3+2时取等号。故选D。答案 D6.设a>0,若关于x的不等式x+

5、≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为(  )A.16B.9C.4D.2解析 x>1,x+=(x-1)++1≥2+1=2+1≥5。所以2≥4,≥2,a≥4。故选C。答案 C二、填空题7.当x≥4时,x+的最小值为________。解析 ∵x≥4,∴x-1≥3。∵函数y=x+在[3,+∞)上为增函数,∴当x-1=3时,y=(x-1)++1有最小值。答案 8.若a>0,b>0,a+b=1,则ab+的最小值为________。解析 ab≤2=,当且仅当a=b=时取等号。y=x+在x∈上为减函数。∴ab+的最小值为+4=。答案 

6、9.已知x>-1,则函数y=的值域为________。解析 y==(x+1)++5,因为x>-1,所以x+1>0,则y≥2+5=9(当且仅当x=1时取等号)。答案 [9,+∞)三、解答题10.已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值。解析 由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1。∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0。∴(3+1)(-1)≥0。∴≥1。∴xy≥1。当且仅当x=y=1时,等号成立。∴xy的最小值为

7、1。(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·2。∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0。∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0。∴x+y≥2。当且仅当x=y=1时取等号。∴x+y的最小值为2。答案 (1)1 (2)211.(2016·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽

8、的通道,如图。设矩形温室的室内长为x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位:m2)。(1)求S关于x的函数关系式;(2)求S的最大值。解析 (1)由题设,得S=(x-8)=-2x-+916,x∈(8,450)。(2)因为8

9、,y都是正数,且x+y=1,则+的最小值为(  )A.B.2C.D.3解析 由题意,知x+2>0,y+1>0,(x+2)+(y+1)=4,则+=[(x+2)+(y+1)]·=≥=(当且仅当x=,y=时,取等号),故选C。答案 C2.(2017·沈阳模拟)若两正数a,c满足a+2c+2ac=

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