2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教a版选修2-1

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1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题;2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念;3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一 空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么?答案 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考2 平面向量的基底惟一确定吗?答案 不惟一.梳理 (1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a,b,c和空间任一

2、向量p结论存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc(2)基底条件:三个向量a,b,c不共面.结论:{a,b,c}叫做空间的一个基底.基向量:基底中的向量a,b,c都叫做基向量.知识点二 空间向量的坐标表示思考1 平面向量的坐标是如何表示的?答案 在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y惟一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.设=x

3、i+yj,则向量的坐标(x,y)就是点A的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).思考2 基底不同,向量的坐标相同吗?答案 不同.梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量,记作e1,e2,e3空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3,则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z)

4、类型一 基底的概念例1 若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底?解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ、μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c.∵{a,b,c}为基底,∴a,b,c不共面.∴此方程组无解.∴a+b,b+c,c+a不共面.∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的

5、向量线性表示,则不能构成基底.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.跟踪训练1 (1)已知a,b,c是不共面的三个非零向量,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(  )A.2aB.2bC.2a+3bD.2a+5c(2)以下四个命题中正确的是________.①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示;②若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量;③如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线;④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.答案 (1)

6、D (2)②③解析 (2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故①不正确;②正确;由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底,故③正确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的,故④不正确.类型二 用基底表示向量例2 如图所示,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,=a,=b,=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量.(1);(2);(3);(4).解 连接AC,AD′.(1)=(+)=(++)=(a+b+c).(2)=(+)=(a+2b+c)=a+b+c.(3)

7、=(+)=[(++)+(+)]=a+b+c.(4)=+=+=+(-)=+=(+)+=a+b+c.反思与感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果

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1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题;2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念;3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一 空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么?答案 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考2 平面向量的基底惟一确定吗?答案 不惟一.梳理 (1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a,b,c和空间任一

2、向量p结论存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc(2)基底条件:三个向量a,b,c不共面.结论:{a,b,c}叫做空间的一个基底.基向量:基底中的向量a,b,c都叫做基向量.知识点二 空间向量的坐标表示思考1 平面向量的坐标是如何表示的?答案 在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y惟一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.设=x

3、i+yj,则向量的坐标(x,y)就是点A的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).思考2 基底不同,向量的坐标相同吗?答案 不同.梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量,记作e1,e2,e3空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3,则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z)

4、类型一 基底的概念例1 若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底?解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ、μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c.∵{a,b,c}为基底,∴a,b,c不共面.∴此方程组无解.∴a+b,b+c,c+a不共面.∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的

5、向量线性表示,则不能构成基底.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.跟踪训练1 (1)已知a,b,c是不共面的三个非零向量,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(  )A.2aB.2bC.2a+3bD.2a+5c(2)以下四个命题中正确的是________.①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示;②若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量;③如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线;④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.答案 (1)

6、D (2)②③解析 (2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故①不正确;②正确;由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底,故③正确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的,故④不正确.类型二 用基底表示向量例2 如图所示,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,=a,=b,=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量.(1);(2);(3);(4).解 连接AC,AD′.(1)=(+)=(++)=(a+b+c).(2)=(+)=(a+2b+c)=a+b+c.(3)

7、=(+)=[(++)+(+)]=a+b+c.(4)=+=+=+(-)=+=(+)+=a+b+c.反思与感悟 用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果

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