2017-2018学年高中数学 课时作业4 正、余弦定理在三角形中的应用 新人教a版必修5

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1、课时作业4　正、余弦定理在三角形中的应用

2、基础巩固

3、(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为，则的值为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D．2解析：由bcsinA＝，得c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，故a＝.所以＝＝.答案：B2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)A．40B．20C．40D．20解析：设另两边长为8x,5x，则cos60°＝，解得x＝2.两边长是16与10，三角形的面积是×16×10×sin60°

4、＝40.答案：A3．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为(　　)A．5B．6C．7D．8解析：由题设a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10，所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边长为7.答案：C4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)A．3B.C.D．3解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝

5、.答案：C5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是(　　)A．2B．2或4C．1或2D．5解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，所以×3×AD×＋×6×AD×＝×3×6×，解得AD＝2.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.解析：因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，所以absinC＝4，所以b＝2.答案：27．已知a，b，c是锐角三角形ABC中

6、角A，B，C的对边，若a＝3，b＝4，△ABC的面积为3，则c＝________.解析：由S＝absinC，得sinC＝，∴cosC＝，再由余弦定理得c＝.答案：8．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∵4·bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.答案：45°三、解答题(每小题10分，共20分)9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△AB

7、C的面积为3时，求a＋c的值．解析：(1)因为cosB＝>0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝.由正弦定理＝可得＝，所以a＝.(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.因为a＋c>0，所以a＋c＝2.10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：－＝c.证明：由余弦定理的推论得cosB＝，cosA＝，代入等式右边，得右边＝c＝＝＝－＝左边，所以－＝c

8、.

9、能力提升

10、(20分钟，40分)11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则B的度数为(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，由正弦定理可得sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，因为sinC≠0，所以sinC＝1，故C＝90°，又S＝bcsinA＝(b2＋c2－a2)，所以sinA＝＝cosA，所以tanA＝1，故A＝45°，所以B＝45°，故选C.答案：C12．在△AB

11、C中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝××1×sin30°＝.又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝.答案：13．(淄博六中期末)在△ABC中，cos2A＝cos2A－cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.解析：(1)由已知得(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，所以cosA＝.因为0