2017-2018学年高中数学 课时作业14 数乘向量 北师大版必修4

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1、课时作业14　数乘向量

2、基础巩固

3、(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列计算正确的个数是(　　)(1)0a＝0；(2)a＋0＝a；(3)(2a＋b)－(a－b)＝a.A．0　　B．1C．2D．3解析：(1)错，0a＝0，(2)对，(3)错，根据向量的运算可得(2a＋b)－(a－b)＝a＋2b.答案：B2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)A．－1或3B.C．－1或4D．3或4解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m

4、)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.答案：A3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)A.＝2B.＝C.＝3D．2＝解析：因为D是BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.答案：B4．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　)A．k＝mB．km－1＝0C．km＋1＝0D．k＋m＝0解析：若A，B，C三点共线，则与共线，∴存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b

5、)，即a＋kb＝λma＋λb，∴∴km＝1，即km－1＝0.答案：B5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋bB.a＋bC．a＋bD．a＋b解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4

6、b＝0所以x＝4b－3a.答案：4b－3a7．已知＝＋.设＝λ，那么实数λ的值是________．解析：∵＝λ，∴－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，又∵＝＋，∴λ＝.答案：8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k<0)．答案：－4三、解答题(每小题10分，共20分)9．计算(1)(a＋2b)＋(3a－2b

7、)－(a－b)；(2)－.解析：(1)原式＝a＋b＝a＋b.(2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0.10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线．(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．解析：(1)因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向且

8、

9、>

10、

11、(如图所示)，所以λ>1.

12、能力提升

13、(20分钟

14、，40分)11．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则(　　)A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.答案：D12．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)

15、，则m－n＝________.解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－213．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)用e、f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且

16、的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．14．如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．因为A，D，E三点共线，所以可设＝μ，则＝(＋)．令λ＝，可得＝λ(＋)．所以，存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．