2017-2018学年高中数学 19 向量应用举例练习（含解析）北师大版必修4

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1、19　向量应用举例时间：45分钟　满分：80分班级________　　姓名________　　分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为

2、v

3、个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)A．(－2,4)　　B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)答案：C解析：按照共线向量及坐标运算法则代入可求．2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是(　　)A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B

4、．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)答案：C解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为(　　)A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形答案：B解析：∵＋＝0，＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，∴⊥，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．4．在△ABC中，·＝0，且·＝，则△ABC的形状是(　　)A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三

5、角形答案：D解析：由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又·＝cos〈，〉＝，〈，〉∈(0°，180°)，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形，选D.5．一条河的宽度为d，一艘船从河岸的A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，船到达B处所用的时间t为(　　)A.B.C.D.答案：C解析：如图所示，知

6、v合

7、2＝

8、v1

9、2－

10、v2

11、2.∴

12、v合

13、＝，∴t＝＝，选C.6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

14、＋

15、＝

16、－

17、，则

18、

19、＝(　　)A．8B．4C．2D．1答案：B解析：由

20、＋

21、＝

22、－

23、可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上

24、的中线，因此，

25、

26、＝

27、

28、＝4，故选B.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的射影为________．答案：解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.∴va在vb上的射影为

29、va

30、cosθ＝5×＝.8．已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，则点B(2,3)到直线l的距离是________．答案：解析：由题意，知直线l的斜率k＝－.又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(

31、2,3)到直线l的距离d＝＝.9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．答案：30解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，

32、

33、＝，

34、

35、＝，∴S＝

36、

37、·

38、

39、＝30.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是边BC的中点，E是边AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.解：解法一(基向量法)·＝·＝·＝·＝2－·－2.∵BC⊥CA，∴·＝0.又BC＝CA，∴

40、

41、＝

42、

43、，∴·＝(

44、

45、2－

46、

47、2)

48、＝0，∴⊥，即AD⊥CE.解法二(坐标法)以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设

49、

50、＝

51、

52、＝a，∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E，D，∴＝，＝，∴·＝－＋×＝－＋＝0，∴⊥，即AD⊥CE.11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．又与共线，因此存在实数n，使得＝n＝n.由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n，整理得(m＋n－1)a＋b＝0.由于向量a，b不共

53、线，所以有，解得，所以＝.同理＝，所以＝，所以AR＝RT＝TC，所以R，T为AC的三等分点．12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)判断

54、F1

55、，

56、F2

57、随角θ的变化而变化的情况；(2)当

58、F1

59、≤2

60、G

61、时，求角θ的取值范围．解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，

62、F1

63、＝，

64、F2

65、＝

66、G

67、tanθ，当θ从0°趋向于90°时，

68、F1

69、，

70、F2

71、都逐渐增大．(2)由

72、F1

73、＝，

74、F1

75、≤2

76、G

77、，得cosθ≥.又因为0°≤θ<90°