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1、对图论中一问题的探讨刘爱兰（西北师范大学数学与统计学院10级数学与应用数学2班）摘要:Schur于1916年用图论中的结论证明了关于高维Ramsey数的Schur定理，在习题中提出=5,=14的特殊情况，本文就在此定理的基础上对=14进行了探讨.关键词：Ramsey数；Schur定理；探讨DiscussestheproblemsingraphtheoryAbstract:Withtheconclusionsofthegraphtheory,SchurprovedSchurtheoremsaboutthenumberofhigh
2、erdimensionalRamseyin1916,theproblemoftheproposed=5,=14ofthespecialcircumstancesisputforward,thisarticleisonthebasisofthistheoremtoarediscussedinthispaper.Keywords:Ramseynumber；Schurtheorem；DiscussSchur于1916年用图论中的结论证明了关于高维Ramsey数的Schur定理，本文对此定理的一个特殊情况作了探讨.下面先给出本文涉及到
3、的一些定义.定义1（完全图）任意二顶点皆相邻的图，记之为.定义2（Ramsey数）对任意取定的正整数m，m，任意取定以m个自然数为分量的向量.如果对的边任意进行m边着色，一定存在一个同色的子图,，n的最小值称为m维Ramsey数，记之为.注；；.一Schur定理定理（Schur定理）设为的任一分划，则，使中含有的解.证明：令，设是以为顶点的完全图，给进行边着色，使着以颜色.由Ramsey数的定义，可知，，使的色相同，不妨设为，且不妨设，.中的两个数之和等于中的.所以中有的解.注1设为满足上述条件的最小正整数，则.注2.下对，作
4、一简单证明.证明：①假设，这时,对，只有一种划分，且此划分中不存在满足条件的解，所以假设不成立.时，，有，满足题意，故.②由前面的定义2及其注知，由注2知，又假设，则存在划分，.，和中都不存在满足方程的解，所以假设不成立，所以.对，考虑的任意划分,如果或中的某一个集合中只有1，2，3，4，5中某一个数，则另一个集合中有满足方程的解；如果或中的某一个集合中只有1，2，3，4，5中的两个数：1，3或1，4或1，5或2，3或2，5或3，4或3，5或4，5，则另一个集合中有满足方程的解；对的其他划分，都，使中含有的解.故对的任意划分，
5、都，使中含有的解.综上可知，.二对Schur定理中情形的探讨本文在上面定理的基础上对的情况作一简单探讨.首先由下面反例知.因划分中任一子集无的解，故.考虑的任意划分,如果1,2,3,4,5处于的某两个子集中，这时某中有解.下设每个含1,2,3,4,5中至少一个，如果1,2或2,4或1,3,4或1,4,5或1,2,3,5在同一个中，则该中有解.若1,2且2,4且1,3,4且1,4,5且1,2,3,5都不在同一个中，可以分以下几种情况:情况18或中有解；8，10或中有解；8，106所在的子集里有解.情况2此时划分可以根据7所在的集
6、合分为两类：①7中有解；7，8或中有解；7，86所在的子集里有解.②7中有解；7，9或中有解；7，9，8或中有解；7，9，810所在的子集里有解.情况3此时划分可以根据6所在的集合分为两类：①6中有解；6，8或中有解；6，8，7或中有解；6，8，711所在的子集里有解.②6中有解；6，10或中有解；6，10，7或中有解；6，10，7，11或中有解；6，10，7，1113所在的子集里有解.情况46或中有解；6，10或中有解；6，10，8或中有解；6，10，8，7或中有解；6，10，8，713所在的子集里有解.情况5此时划分可以根
7、据8所在的集合分为两类：①8中有解；8，9或中有解；8，9，7或中有解；8，9，711所在的子集里有解.②8中有解；8，10或中有解；8，10，9或中有解；8，10，9，7或中有解；8，10，9，711所在的子集里有解.情况66或中有解；6，8或中有解；6，8，7或中有解；6，8，7，13或中有解；6，8，7，139所在的子集里有解.情况7此时划分可以根据10所在的集合分为两类：①10中有解；10，9或中有解；10，9，11或中有解；10，9，11，6或中有解；10，9，11，67所在的子集里有解.②10中有解；10，8或中有
8、解；10，8，9或中有解；10，8，9，7或中有解；10，8，9，7，11或中有解；10，8，9，7，1112所在的子集里有解.情况87或中有解；7，6或中有解；7，68所在的子集里有解.情况98或中有解；8，10或中有解；8，106所在的子集里有解.情况10此时划分可以根据
