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《2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第44讲立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第44讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直考纲要求考情分析命题趋势1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．2．能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2016·山东卷，172016·浙江卷，172016·天津卷，17空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.分值：5～6分1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一__非
2、零__向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔__v1∥v2__.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔__存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2__.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔__v⊥u__.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，
3、u2，则α∥β⇔__u1∥u2__.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔__v1⊥v2__⇔__v1·v2＝0__.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔__v∥u__.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔__u1⊥u2__⇔__u1·u2＝0__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平
4、行或重合．( √ )(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( C )A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C． D．解析＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，经计算得C符合题意．3．已知直线l的方向向量v＝(1,2,3)，平面α的法向量为u＝(5,2，－3)，则l与α的位置关系是__l∥a或l⊂α__.解析∵v＝(1,2,3)，u＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－3)＝0，∴v⊥u，
5、∴l∥a或l⊂α.4．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__α⊥β__；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为__α∥β__.解析当v＝(3，－2,2)时，u⊥v，则α⊥β，当v＝(4，－4，－10)时，u∥v，则α∥β.5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是__异面垂直__.解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立直角坐标
6、系，设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，则＝(1,0,2)，∴·＝0，∴⊥，∴ON⊥AM.一 利用空间向量证明平行问题(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【例1】如图所示，平面P
7、AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，设＝s＋t，即(2,0，－2)＝s(0，－
8、1,0)＋t(1,1，－1)，∴解得s＝t＝2.∴＝2＋2，又∵与不共线，∴，与共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.二 利用空间向量证明垂直问题证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题
