2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理

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1、2.3　函数的奇偶性与周期性[知识梳理]1．函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．(2)奇偶函数的性质①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．2．函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f

2、(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于

5、R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．4．函数的周期性定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期．对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．5．函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0

6、.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2

7、b－a

8、；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2

9、b－a

10、；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4

11、b－a

12、；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(

13、x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.6．掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；(2)函数f(x)＝＝(a>0且a≠1)为奇函数；(3)函数f(x)＝loga为奇函数；(4)函数f(x)＝loga(x＋)为奇函数．[诊断自测]1．概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

14、(　　)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(必修A1P39A组T6)已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)A．－2B．0C．1D．2答案　A解析　f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.故选A.(2)(必修A1P39B组T3)设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)A．(－1,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2

15、)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)答案　C解析　∵f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)内也单调递减．又∵f(－2)＝0，∴f(2)＝0，函数f(x)的大致图象如右图，∴xf(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.3．小题热身(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.答案　1解析　由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，则ln(x＋)＋ln(－x)＝0，∴ln[()2－x2]＝