江苏省数学竞赛提优教程教案 第09讲函数性质的应用最终

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1、第9讲函数性质的应用本节主要内容是综合运用函数的性质及其图象解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题。A类例题例1已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（）A．-5B．-3C．3D．随a，b取不同值而取不同值(1993年全国高中数学联合竞赛)解设lglog310=m，则lglg3=－lglog310=－m，则f(m)=asinm+b+4=5，即asinm+b=1．所以f(－m)=－(asinm+b)+4=－1+4=3．选C．例2设对任意整数x，f(x)=f(x-1)+f(x+1)，且f(0)

2、=19，f(4)=93，则f(59)=。（1993年江苏省高中数学竞赛）分析通过对f(x)=f(x-1)+f(x+1)的变换，寻求函数f(x)的变化规律。解由f(x+1)=f(x)－f(x－1)，得f(x+3)=f(x+2)－f(x+1)=f(x+1)－f(x)－f(x+1)=－f(x)，于是f(x+6)=－f(x+3)=f(x)。所以f(59)=f(9×6+5)=f(5)=－f(2)。由于f(1)=－f(4)=－93，故f(2)=f(1)－f(0)=－112，所以f(59)=112。例3求函数的最大值和最小值。（1996年美国中学数学竞赛题）分析考察函数

3、的定义域和单调性。解先求函数定义域。由得。因为。当，且x增加时，增大，而减小，于是f(x)是随着x得增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数，所以f(x)的最小值为f(8)=0，f(x)的最大值为f(6)=。说明利用函数得单调性求函数的最值（或值域）是一种常用的方法。一般地，若函数在闭区间[a，b]上为单调函数，则在端点处取得最值。情景再现1．已知f(x)＝ax5＋bsin5x＋1，且f⑴＝5，则f(－1)＝()A．3B．－3C．5D．－52．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线

4、x+y=0对称，那么，第三个函数是A．y=-φ(x)　　　　　B．y=-φ(-x)C．y=-φ-1(x)　　　　D．y=-φ-1(-x)（1988年全国高中数学联赛）3．函数对所有整数和，都有和，则等于（）A．26B．27C．52D．534．如图，已知函数y＝2x2在[a，b](a

5、，已知当x∈I时，f（x）＝x．（1）求f（x）在I上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M＝｛a│使方程f（x）＝ax在I在上有两个不相等的实根｝．（1989年全国高考题）分析方程f（x）＝ax在I在上有两个不相等的实根等价于函数g（x）＝ax、f（x）＝（x－2k）的图象在区间（2k－1，2k＋1］（k∈N）上有两个不同的公共点。[来源:学科网ZXXK]解（1）设x∈I＝（2k－1，2k＋1］，则x－2k∈（－1，1］＝I．由已知，当x∈I时，f（x）＝x，所以f（x－2k）＝（x－2k）．又由已知，f（x）是周期为2的周期函数，所以，f（x－2k）

6、＝f（x），即当x∈I时，f（x）＝（x－2k）．（2）题意即求关于x的方程（x－2k）＝ax在区间I＝（2k－1，2k＋1］（k∈N）上有两个不同的解时，实数a的取值范围．方程（x－2k）＝ax即为。由得或。得，得，得，由于k∈N，所以a∈（0，]，即所求集合M＝（0，]．说明设g（x）＝ax（含参数，形式简单）．问题转化为在同一个坐标系中，两函数g（x）＝ax、f（x）＝（x－2k）的图象在区间（2k－1，2k＋1］（k∈N）上有两个不同的公共点时a的取值范围．如图，不难得到a∈（0，]．所以集合M＝（0，]．例5（1）解方程(x＋8)2005＋x20

7、05＋2x＋8＝0；（2）解方程。解（1）原方程化为(x＋8)2005＋(x＋8)＋x2005＋x＝0，即(x＋8)2005＋(x＋8)＝(－x)2005＋(－x)。构造函数f(x)＝x2005＋x，于是原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)，而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数。于是有x＋8＝－x，所以x＝－4为原方程的解。（2）两边取以2为底的对数得，即，即，构造函数。于是原方程等价于f(2x)＝f(x2＋1)。易证：f(x)是奇函数，且是R上的增函数，所以2x＝x2＋1，解得x＝1。说明这两个方程都是通过变形，将其转化为的形式，进而利用函数

8、的性质（单调性、奇偶性等）加以解决。例6设关于x的一元二次方程2x