2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第35讲_整数性质

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1、第16讲整数的性质初等数论的基本研究对象是整数．两个整数的和、差、积都是整数，但商却不一定是整数．由此引出了数论中最基本的概念：整除．整除性理论是初等数论中最基础的部分，它是在带余除法的基础上建立起来的．整数a除以整数b(b≠0)，可以将a表示为a=bq+r，这里q，r是整数，且0≤r＜b．q称为a除以b所得的商，r称为a除以b所得的余数．当r=0时，a=bq，称a能被b整除，或称b整除a，记为b

2、a，b叫做a的因数，a叫做b的倍数；q取1，则a=b，a也是它本身的因数．当r≠0时，称a不能被b整除，b不整除a，记作b├a．若c

3、a，c

4、

5、b，则称c是a，b的公因数，a，b的最大公因数d记为(a，b)．若a

6、c，b

7、c，则称c是a，b的公倍数，a，b的最小公倍数M记为[a，b]．一个正整数，按它的正因数个数可以分为三类．只有一个正因数的正整数是1；有两个正因数的正整数称为素数(质数)，素数的正因数只有1和它本身；正因数个数超过两个的正整数称为合数，合数除了1和它本身外还有其他正因数．任何一个大于1的整数均可分解为素数的乘积，若不考虑素数相乘的前后顺序，则分解式是惟一的．一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可能重复出现，把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，大于1的整

8、数a可以表示为：a=，其中i=l，2，…，s．以上式子称为a的标准分解式．大于l的整数的标准分解式是惟一的(不考虑乘积的先后顺序)．若a的标准分解式是a=，其中i=l，2，…，s，则d是a的正因数的充要条件是d=，其中0≤βi≤αi，i=l，2，…，s．由此可知，a的正因数的个数为d(a)=(α1+1)(α2+1)…(αs+1)．由a的标准分解式a=(i=l，2，…，s)，若a是整数的k次方，则αi(i=l，2，…，s)是k的倍数．若a是整数的平方，则αi(i=l，2，…，s)是偶数．推论：设a=bc，且(b，c)=1，若a是整数的k次

9、方，则b，c也是整数的k次方．若a是整数的平方，则b，c也是整数的平方．A类例题例1．若任何三个连续自然数的立方和都能被正整数a整除，则这样的a的最大值是（）A.9B.3C.2D.1分析观察最小的三个连续自然数的立方和36，a是它的约数，a不会超过36，不能排除任何选择支；观察第二个小的三个连续自然数的立方和，进一步缩小a的范围，可以排除取偶数的可能。当前面几个都是某数的倍数时，可以猜想出a的最大值，但最好能证明所有“三个连续自然数的立方和”都是某数的倍数。解记an＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，则a1＝13＋23＋33＝36＝4×

10、9，a2＝23＋33＋43＝99为奇数，则a

11、a1，a

12、a2，(a1，a2)=9，故a

13、9，所以a＝1，3，9。又an＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3＝3n3＋9n2＋15n＋9＝3n3＋9n2＋6n＋9n＋9＝3n(n2＋3n＋2)＋9(n＋1)＝3n(n＋1)(n＋2)＋9(n＋1)，∴9

14、an，故amax＝9，选A。[来源:学科网]说明解法中，把3n3＋9n2＋15n＋9分为3n(n2＋3n＋2)与9(n＋1)两部分，分别说明其为9的倍数。在考虑整除的证明时，把整数n的多项式分成几组分别因式分解是常用的方法。例2．若p是大于3的

15、质数，则p2除以24的余数为1。分析：即证明p2－1是24的倍数，也即证明p2－1既是3的倍数又是8的倍数。p－1、p+1之间只有一个质数p，而连续的两个自然数中必有2的倍数，连续的三个自然数中必有3的倍数。证明1∵p是大于3的质数，∴p不是偶数，不是3的倍数，又∵p2－1=(p－1)(p+1)，连续的三个整数中必有3的倍数，∴p－1、p+1中必有3的倍数，且p－1、p+1是连续的两个偶数，(p－1)(p+1)是8的倍数。∴p2－1=(p－1)(p+1)是24的倍数，即p2除以24的余数为1。证明2设p=6n±1(6n,6n±2,6n+

16、3均为合数)，则(6n±1)2=36n2±12n+1=12n(3n±1)+1，∵n和3n±1必为一奇一偶，∴n(3n±1)为偶数。∴12n(3n±1)必为24的倍数，∴(6n±1)2=24k+1[来源:Zxxk.Com]即p2除以24的余数为1。说明大于3的质数，必定是奇数，又不是3的倍数，所以一定是形如6n±1的数。6是24的约数，用这样的形式表出后再变形，容易推出结论。例3．试证明是既约分数。分析即证明(21p+4，14p+3)=1。若a、b、c是三个不全为0的整数，且有整数t使得a=bt+c，则a、b与b、c有相同的公约数，因而(

17、a，b)=(b，c)，即(a，b)=(a－bt，b)。可以用此法化简。证明∵(21p+4，14p+3)=(21p+4―14p―3，14p+3)=(7p+1，14p+3)=(7p+1，14p+3―14p―2)