2019版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第33讲一元二次不等式及其解法学案

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1、第33讲　一元二次不等式及其解法考纲要求考情分析命题趋势1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.2017·江苏卷，72016·江苏卷，52015·山东卷，1对一元二次不等式的考查．主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.分值：5分三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0

2、Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1没有实数根＝x2＝－ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集__{x

3、x＜x1或x＞x2}________R__ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集__{x

4、x1＜x＜x2}____∅____∅__1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　√　)(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方

5、程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　×　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　√　)解析(1)正确．由不等式解集为(x1，x2)可知a＞0，故正确．(2)正确．由不等式的解集可知命题正确．(3)错误．当a＜0时，不等式的解集为∅，故错误．(4)错误．不等式恒成立的条件为或故

6、错误．(5)正确．图象开口向下，则一定有小于0的部分，故正确．2．已知全集U＝R，集合A＝，B＝，则A∩B＝(　D　)A．(1,2)　　B．(2,3)　　C．[2,3)　　D．(1,2]解析∵＞0，∴(x－1)(x－3)＜0，∴1＜x＜3.又∵4－2x≥0，∴4≥2x，∴x≤2，∴A∩B＝{x

7、1＜x≤2}，故选D．3．不等式x(2－x)＞0的解集为__(0,2)__.解析∵x(2－x)＞0，∴x(x－2)＜0，∴0＜x＜2，故解集为(0,2)．4．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b＝__－14__.解析由题意可知a＜0且－和

8、是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14.5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__(－∞－4]∪[4，＋∞)__.解析由题意可知Δ＝a2－16≥0解得a≥4或a≤－4.一　含参数的一元二次不等式的解法(1)二次项中若含有参数应讨论是小于零，等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【例1】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－a

9、x(a∈R)．解析原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当＜－1，即－2

10、x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{x

11、x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.二　一元二

12、次不等式恒成立问题不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．【例2】函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)

13、≥0恒成立，求x的取值范围．解析(1)当x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，须Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，所以－6≤a≤