2019版高考数学大一轮复习第五章数列第30讲数列求和优选学案

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1、第30讲　数列求和考纲要求考情分析命题趋势1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.2017·全国卷Ⅲ，172017·山东卷，192017·天津卷，18利用公式求数列的前n项和，利用常见求和模型求数列的前n项和.分值：5分1．公式法与分组法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．①等差数列的前n项和公式Sn＝＝__na1＋d__.②等比数列的前n项和公式Sn＝(2)分组法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用

2、分组法分别求和后相加减．2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋

3、97)＋…＋(2＋1)＝5050.3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧①＝－；②＝；③＝；④＝－.4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝较为合理．(　√　)(2)如果数列{an}为等比数列，且公比

4、不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　)(3)当n≥2时，＝－.(　×　)(4)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　×　)(5)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．(　√　)解析　(1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知．(2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知．(3)错误．直接验证可知＝.(4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分a＝0，a＝1，以及a≠0且a

5、≠1三种情况求和，只有当a≠0且a≠1时才能用错位相减法求和．(5)正确．根据周期性可得．2．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n＝(　B　)A．9　　B．99　　C．10　　D．100解析　∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.∴－1＝9，即＝10.∴n＝99.3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　C　)A．2n＋n2－1　　B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2　　D．2n＋n－2解析　

6、Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(　A　)A．15　　B．12　　C．－12　　D．－15解析　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋2

7、8＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝__(n－1)2n＋1＋2__.解析　∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.一　

8、分组法求和分组法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比或等差数列，可采用分组法求和．【例1】已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn.解析　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，