2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.8函数与方程学案理

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1、2.8　函数与方程[知识梳理]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．一元二次方程根的分布情况设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m

2、x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若

3、a－b

4、<ε，则得到零点近似值a

5、(或b)；否则重复②③④.[诊断自测]1．概念思辨(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(必修A1P88T2)在下

6、列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　∵函数f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0，∴函数f(x)＝ex＋4x－3在(－∞，＋∞)上为增函数，且f(0)＝e0－3＝－2<0，f＝－2＝－<0，f＝－1>0，∴f·f<0，∴函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为，故选A.(2)(必修A1P92T2)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表：x123456f(x)－82－3568则函数f(x)存在零点的区间

7、有(　　)A．区间[2,3]和[3,4]B．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D．区间[1,2]、[2,3]和[3,4]答案　D解析　由已知条件可得：f(1)＝－8<0，f(2)＝2>0，f(3)＝－3<0，f(4)＝5>0.可得f(1)·f(2)<0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，函数f(x)的图象是连续不断的，由零点判定定理可知：函数的零点在区间[1,2]、[2,3]和[3,4]．故选D.3．小题热身(1)(2013·重庆高考)若a

8、0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在判定定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)

9、的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．故选A.(2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)答案　C解析　易知f(x)是单调递减函数．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2<0，∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4)．故选C.题型1　函数零点所在区间的判断　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2017

10、·乌鲁木齐一模)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)A.B.C.D.本题用定义法．答案　C解析　　　已知函数f(x)＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)用定义法或数形结合法．答案　C解析　解法一：∵f(x)＝lnx－x－2在(0，＋∞)上是增函数．又f(1)＝ln1－－1＝－2<0，f(2)＝ln2－0＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0.