2019版高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和学案

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1、第30讲　等比数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.2016·全国卷Ⅲ，172016·湖南卷，142016·四川卷，192016·天津卷，51.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明等比数列．2．利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.分值：5～7分1．等比数列的有关概念(1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于_

2、_同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q__表示．(2)等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么__＝__，即__G2＝ab__.2．等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝__a1·qn－1__.(2)等比数列的前n项和公式等比数列的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝__na1__；当q≠1时，Sn＝____＝____.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(n，m

3、∈N*)．(2)若为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若，(项数相同)是等比数列，则(λ≠0)，，，，仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)常数列一定是等比数列．(　×　)(2)等比数列中不存在数值为0的项．(　√　)(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列为等比数列．(　×　)(4)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)(5)若等比数列的首项为a1

4、，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn.(　×　)(6)数列的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)(7)q＞1时，等比数列是递增数列．(　×　)(8)在等比数列中，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋q.(　×　)解析(1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正确．(3)错误．当q＝0时，{an}不是等比数列，故错误．(4)错误．当G2＝ab＝0时，G不是a，b的等比中项，故错误．(5)错误．等比数列的通项公式为an＝a1qn－1，故错误．(6)错误．当a＝1时，Sn

5、＝n，故错误．(7)错误．当q>1，a1<0时，等比数列递减，故错误．(8)错误．若an＝1，a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足的条件是(　D　)A．a≠1　　B．a≠0或a≠1C．a≠0　　D．a≠0且a≠1解析由等比数列定义可知，a≠0且1－a≠0，即a≠0且a≠1，故选D．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝(　C　)A．1∶2　　　B．2∶3C．3∶4　　　　D．1∶3解析由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比

6、数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.4．在等比数列中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝__－4__，S4＝__51__.解析∵a4＝a1·q3，∴q3＝－64，q＝－4，S4＝＝＝51.5．在等比数列中，若a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝__25__.解析由等比数列的性质知a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，∴a8·a9·a10·a11＝25.一　等比数列的基本量计算解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求

7、关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，的前n项和Sn＝＝.【例1】(1)已知等比数列满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　B　)A．21　　B．42　　C．63　　D．84(2)(2018·河南开封模拟)正项等比数列中，a2＝4，a4＝16，则数列的前9项和等于__1_022__.(3)在数列中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为的前n项和．若Sn＝126，则n＝__6__.解析(1)∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2

8、＋3q4＝