2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案文

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1、11.3　合情推理与演绎推理[知识梳理]1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理．2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．(3)归纳和类比推理的定义、特征3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段

2、论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[诊断自测]1．概念思辨(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．教材衍

3、化(1)(选修A1－2P23例题)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10为(　　)A．28B．76C．123D．199答案　C解析　记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6

4、)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.故选C.(2)(选修A1－2P23例2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．答案　　解析　设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，

5、∴＝bq22，＝bq38，即2＝·T4，故T4，，成等比数列．故答案为，.3．小题热身(1)(2018·厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，有双曲线－＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．答案　－＝1解析　设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线－＝1上任一点为(x0，y0)，则切线方程为－＝1(这个结论是正确的，证明略)．(2)(2015·

6、陕西高考)观察下列等式1－＝1－＋－＝＋1－＋－＋－＝＋＋……据此规律，第n个等式可为________．答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋解析　观察已知等式可知，第n个等式左边共有2n项，其中奇数项为，偶数项为－，等式右边共有n项，为等式左边后n项的绝对值之和，所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.题型1　类比推理　　已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过点P的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过点P的切线的斜率k＝.类

7、比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．注意题意要求，类比上述方法求切线．答案　2x－y－＝0解析　将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过点P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.方法技巧1．类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：①类比定义：如等差、等比数列的定义；②类比性质：如椭圆、双曲线的

8、性质；③类比方法：如基本不等式与柯西不等式；④类比结构：如三角形内切圆与三棱锥内切球．(2)四个原则①长度类比面积；②面积类比体积；③平面类比空间；④和类比积，差类比商．见典例．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．常见类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要