2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆、圆与圆的位置关系学案理

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1、8．4　直线与圆、圆与圆的位置关系[知识梳理]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<02．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2∶(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋

2、r2一组实数解相交

3、r1－r2

4、

5、r1－r2

6、(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<

7、r1－r2

8、(r1≠r2)无解3．必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆

9、系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．(3)弦长公式

10、AB

11、＝

12、xA－xB

13、＝.[诊断自测]1．概念思辨(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．(　　)(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)(

14、3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P128T3)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案　B解析　圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1，故选B.(2)(必修A2P133A组T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案　2解析　由得x－y＋2＝0.又

15、圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.3．小题热身(1)(2017·西安调研)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案　C解析　由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即

16、a＋1

17、≤2，解得－3≤a≤1.故选C.(2)(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.答案　2

18、解析　如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又

19、OD

20、＝＝1，∴r＝2

21、OD

22、＝2.题型1　直线与圆的位置关系　　(2017·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．不确定代数法，几何法．答案　A解析　由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．故选A.方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用d与r的关系．见典例1，典例2答案解法二．2．

23、代数法：联立方程之后利用Δ判断．见典例2答案解法一．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．冲关针对训练直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)A．(，2)B．(，3)C.D.答案　D解析　当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限