2019版高考数学大一轮复习第五章数列第29讲等比数列及其前n项和优选学案

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1、第29讲　等比数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.2017·江苏卷，92017·北京卷，152016·全国卷Ⅲ，172016·湖南卷，141.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．2．利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.分值：5～7分1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__

2、同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q__表示．(2)等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么__＝__，即__G2＝ab__.2．等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝__a1·qn－1__.(2)等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝__na1__；当q≠1时，Sn＝____＝____.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(n，m

3、∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)常数列一定是等比数列．(　×　)(2)等比数列中不存在数值为0的项．(　√　)(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)(4)G为a，b的等比中项⇔G2＝a

4、b.(　×　)(5)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn.(　×　)(6)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)(7)q＞1时，等比数列{an}是递增数列．(　×　)(8)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋q.(　×　)解析　(1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列．(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项．(3)错误．当q＝0时，{an}不是等比数列．(4)错误．当G2＝ab＝0时，G不是a，b的等比中项．(5)错误．等比数列的通项公式为an＝a1qn－1.(6)

5、错误．当a＝1时，Sn＝n.(7)错误．当q>1，a1<0时，等比数列递减．(8)错误．若an＝1，a1·a3＝a4·a5＝1，但1＋3≠4＋5.2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足的条件是(　D　)A．{a

6、a≠1}　　B．{a

7、a≠0或a≠1}C．{a

8、a≠0}　　D．{a

9、a≠0且a≠1}解析　由等比数列定义可知，a≠0且1－a≠0，即a≠0且a≠1.3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝(　C　)A．1∶2　　　B．2∶3　　C．3∶4　　　　D．1∶3解析　由等比数列的性质知S3，S6－S3，S

10、9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.4．在等比数列{an}中，若a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__25__.解析　由等比数列的性质知a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，∴a8·a9·a10·a11＝25.5．在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝__－4__，S4＝__51__.解析　∵a4＝a1·q3，∴q3＝－64，q＝－4，S4＝＝＝51.一　等比数列基本量的求解解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过

11、列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，将q分为q＝1和q≠1两种情况进行讨论．【例1】(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解析　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2，得d＋q＝3