正文描述:《高考数学一轮复习热点难点精讲精析7.3空间向量》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考一轮复习热点难点精讲精析:7.3空间向量一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示(一)用向量法证明平行、垂直※相关链接※1.用向量证明线面平行的方法有:(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.2.用向量法证垂直问题(1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;(3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数
2、量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.3.利用直线的方向向量和平面的法向量,可以判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直.(1)设直线的方向向量为直线的方向向量为则(2)设直线l的方向向量为平面α的法向量为则(3)设平面α的法向量为平面β的法向量则※例题解析※〖例〗如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.20(1)求证:CM∥平面PAD;(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.思路解析:题目中存在从点C出发的三条
3、两两垂直的直线,故可建立空间直角坐标系,用向量的坐标运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.解答:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=,PB=4.∴D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M(),∴=(0,-1,2),=(,3,0),=(),(1)令为平面PAD的一个法向量,则即令y=2,得20(2)取AP的中点E,则(二)异面直线所成的角※相关链接※高考中对异面直线所成的角
4、的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为:(1)平移:要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.(4)取舍:因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.若用向量法,则转化为求两向量的夹角.※例题解析※〖例〗如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BC⊥CF,,EF=2,BE=3,CF=4.20(Ⅰ)求证:EF⊥平面DCE;(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小
5、为60°.解析:(Ⅰ)证明:在△BCE中,BC⊥CF,BC=AD=,BE=3,∴EC=,∵在△FCE中,CF2=EF2+CE2,∴EF⊥CE………………3分由已知条件知,DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF,又DC与EC相交于C,……………………………………5分∴EF⊥平面DCE……………………6分(Ⅱ)如图,以点C为坐标原点,以CB,CF和CD分别作为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.……………………7分设AB=a(a>0),则C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(,3,0),F(0,4,0).从而………………9分设平面AEF的法向量为,由得,,取
6、x=1,则,即,…………………………11分20不妨设平面EFCB的法向量为,由条件,得解得.所以当时,二面角A-EF-C的大小为60°.(三)利用向量法解决开放性问题※相关链接※1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型,这类问题具有一定的思维深度,用向量法较容易解决.2.对于探索性问题,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.※例题解析※〖例〗如图,已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直,OA=OD=4,点E、F分别为CD、OA的中点.(1)求证:DF∥平面AEB;(2
7、)线段AD上是否存在一点M,使BM与平面AEB所成角的正弦值为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.思路解析:第(1)问用传统方法证明,即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行;第(2)问用向量法解答比较容易入手.解答:(1)如图,取AB中点G,连结FG,EG;∵FG∥OB,∴FG∥DE,20又FG=OB,DE=OB,∴FG=DE,∴四边形EDFG为平行四边形,∴DF∥EG,又EG平面AEB,DF平面AEB,∴DF∥平面AEB.(2)依题意知平面OBCD⊥平面AOD,OB⊥OD,∴OB⊥
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