资源描述：
《高考数学一轮复习热点难点精精析7.3空间向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考一轮复习热点难点精讲精析：7.3空间向量一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示（一）用向量法证明平行、垂直※相关链接※1.用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.2.用向量法证垂直问题(1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;(3)证明面面垂直,只需证明两平面
2、的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.3．利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线,直线与平面，平面与平面的平行和垂直.（1）设直线的方向向量为直线的方向向量为则（2）设直线l的方向向量为平面α的法向量为则（3）设平面α的法向量为平面β的法向量则※例题解析※〖例〗如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.(1)求证:CM∥平面PAD;(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.思路解析：题目中
3、存在从点C出发的三条两两垂直的直线,故可建立空间直角坐标系,用向量的坐标运算证明线面平行,线线垂直,面面垂直.解答：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=,PB=4.∴D(0,1,0),B(,0,0),A(,4,0),P(0,0,2),M(),∴=(0,-1,2),=(,3,0),=(),（1）令为平面PAD的一个法向量，则即令y=2,得（2）取AP的中点E，则（二）异面直线所成的角※相关链
4、接※高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为:(1)平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.(4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.若用向量法，则转化为求两向量的夹角.※例题解析※〖例〗如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BC⊥CF,,EF=2，BE=3，CF=4.(Ⅰ)求证：EF⊥平面DCE；(Ⅱ)当AB的
5、长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°．解析：（Ⅰ）证明：在△BCE中，BC⊥CF,BC=AD=,BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE………………3分由已知条件知，DC⊥平面EFCB,∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，……………………………………5分∴EF⊥平面DCE……………………6分（Ⅱ）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．……………………7分设AB=a（a>0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(，3，0），F（0，4，0）．从而…
6、……………9分设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，则，即，…………………………11分不妨设平面EFCB的法向量为，由条件，得解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．（三）利用向量法解决开放性问题※相关链接※1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.※例题解析※〖例〗如图，已知正方形OBCD所在平面与等腰直角三角形AOD所在平面互相垂直，OA=OD=4，点E、F分
7、别为CD、OA的中点.(1)求证：DF∥平面AEB；(2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.思路解析：第(1)问用传统方法证明，即利用中位线定理在平面AEB内找一条直线与DF平行；第(2)问用向量法解答比较容易入手.解答：(1)如图，取AB中点G，连结FG，EG；∵FG∥OB，∴FG∥DE，又FG=OB，DE=OB，∴FG=DE，∴四边形EDFG为平行四边形，∴DF∥EG，又EG平面AEB，DF平面AEB，∴DF∥平面AEB.(2)依题意知平面OBCD⊥平面AOD，OB⊥OD，∴OB⊥平面AOD
8、，得OB⊥
