（全国版）2019版高考数学一轮复习第5章数列第4讲数列求和学案

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1、第4讲　数列求和板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点　数列求和的六种方法1．公式法2．分组求和法3．倒序相加法4．并项求和法5．裂项相消法6．错位相减法[必会结论]常见的拆项公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)(2)当n≥2时，＝.(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列

2、，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．[2018·长沙模拟]已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)A．15B．12C．－12D．－15答案　A解析　∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.3．[2018·吉林模拟]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　bn＝＝

3、＝－，S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.故选B.4．[课本改编]数列1，，2，，4，，…的前2n项和S2n＝________.答案　2n－解析　S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋＝2n－1＋1－＝2n－.5．[2018·南京模拟]已知an＝，设bn＝，记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝________.答案　解析　bn＝n·3n，于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，②①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即－2Sn＝－n·3n＋1，Sn＝·3n

4、＋1－·3n＋1＋＝.板块二　典例探究·考向突破考向　分组转化法求和例　1　[2016·北京高考]已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解　(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2，所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n

5、－1，从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.触类旁通分组转化求和通法若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．【变式训练1】　[2018·西安模拟]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.∵n＝1时，a1＝1符合上式，故数列{an}的通

6、项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.考向　裂项相消法求和命题角度1　形如an＝型例　2　[2018·正定模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d

7、求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)因为d，S9为函数f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且d