（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案

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1、第6讲　正弦定理和余弦定理板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　正弦定理＝＝＝2R，其中2R为△ABC外接圆的直径．变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.考点2　余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝.sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.考点3　在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况A为锐角A为钝

2、角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解考点4　三角形中常用的面积公式1．S＝ah(h表示边a上的高)．2．S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.3．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[必会结论]在△ABC中，常有以下结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；s

3、in＝cos；cos＝sin.(5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA

4、．[课本改编]在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°答案　B解析　由正弦定理知：＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.3．[2018·长春质检]已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)A.B．1C.D．2答案　C解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsinA＝.4．[课本改编]已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角

5、形的最大内角的大小为________．答案　120°解析　由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cosC＝－，∴C＝120°.5．[2017·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.答案　75°解析　如图，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.又c＞b，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.6．[2015·重庆高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b

6、，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.答案　4解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理的推论得cosC＝，得－＝，解得c＝4.板块二　典例探究·考向突破考向　利用正、余弦定理解三角形例　1　(1)[2018·浙江模拟]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.答案　解析　由3sinA＝5sinB，得3a＝5b，a＝b，又b＋c＝2a，所以c＝b.根据余弦定

7、理的推论cosC＝，把a＝b，c＝b代入，化简得cosC＝－，所以C＝.(2)[2017·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.答案　解析　由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，aco

8、sC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0