（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象和性质学案

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1、第3讲　三角函数的图象和性质板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点　正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[必会结论]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Ac

2、osωx＋b的形式．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内是减函数．(　　)(2)函数y＝sin是偶函数，最小正周期为π.(　　)(3)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．[课本改编]若函数f(x)＝－cos2x，则f(x)的一个递增区间为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由f(x)＝－cos2x知递

3、增区间为，k∈Z，故只有B项满足．3．[2018·福建模拟]函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－答案　C解析　由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋，当k＝－1时，x＝－.4．[2018·厦门模拟]函数y＝sin＋1的图象的一个对称中心的坐标是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，解得x＝－＋，k∈Z.当k＝1时，x＝，y＝1.故选B.5．[课本改编]函数y＝tan的定义域是(　　)A．{xB．{xC．{xD．{x答案　D解

4、析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.6．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.答案　5　＋2kπ(k∈Z)解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．板块二　典例探究·考向突破考向　三角函数的定义域、值域例　1　(1)[2018·烟台模拟]函数y＝的定义域为(　　)A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D．R答案　C解析　∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ

5、－≤x≤2kπ＋，k∈Z.(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．答案　2－解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，故－≤2sin≤2.即函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.所以最大值与最小值的和为2－.　本例(2)中的函数换为“y＝3－sinx－2cos2x，x∈”，如何解答？解　∵x∈，∴sinx∈.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝22＋，∴当sinx＝时，ymin＝；当sinx＝－或s

6、inx＝1时，ymax＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.　本例(2)中的函数换为“y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]”，又该如何解答？解　令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，∴t＝sin，t∈[－1，]．由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，即sinxcosx＝.∴原函数变为y＝t＋，t∈[－1，]．即y＝－t2＋t＋.∴当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.故函数的最大值与最小值的和为1－1＝0.触

7、类旁通三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)换元法的应用：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所换元的取值范围．【变式训练1】　(1)函数y＝的定义域为

8、(　　)A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　B解析　由2sinx－1≥0，得sinx≥，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．(2)函数y＝cos，x∈的值域是________．答案　解析　x∈，x＋∈，∴y∈.考向　三角函数的单调性例　2　已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解　(1)因为f(x)＝2sin的最小正周期为π，且ω＞0.从而有＝π，故ω＝1.(2)因为f(x)＝2sin.若0≤x≤，则≤2x＋≤