2016-2017学年高中数学人教a版选修4-5学业分层测评9二维形式的柯西不等式word版含解析

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1、学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)A．1B．2C.D.4【解析】　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤.【答案】　C2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3【解析】　∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.【答案】　C3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)

2、【导学号：32750050】A．P≤QB．PQ【解析】　设m＝(x，y)，n＝(，)，则

3、ax＋by

4、＝

5、m·n

6、≤

7、m

8、

9、n

10、＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.【答案】　A4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D.(－，)【解析】　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.【答案】　A5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为(　　)

11、A．1B．2C.D.【解析】　＋＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.∵a＋b＝1，ab≤＝，∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，∴＋≥＋4＝.【答案】　C二、填空题6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．【解析】　由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，于是2x＋y≤.【答案】　7．设xy＞0，则·的最小值为________．【解析】　原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．【答案

12、】　98．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．【解析】　(x＋2y)＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，∴＋≥.【答案】　三、解答题9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.【证明】　设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

13、a＋b

14、＝＝

15、m·n

16、≤

17、m

18、

19、n

20、＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.【证明】　因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1

21、，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.[能力提升]1．函数y＝＋2的最大值是(　　)A.　　　　B.C．3　　　　D．5【解析】　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.【答案】　B2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)A.　　　　B．1C．3　　　　D．9【解析】　∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝.∴2x＋y的最大值为.【答案】　A

22、3．函数f(x)＝＋的最大值为______．【导学号：32750051】【解析】　设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝≤(1＋2)＝，∴f(x)≤，当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．【答案】　4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．【解】　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．由柯西不等式l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R，当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，故内接长方形为正方形

23、时周长最大，其周长为4R.亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！