2016-2017学年高中数学人教a版选修4-5学业分层测评9 二维形式的柯西不等式 word版含解析

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1、学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)A．1B．2C.D.4【解析】　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤.【答案】　C2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D.a2＋b2≤3【解析】　∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.【答案】　C3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)【导学号：32750050】A．P≤QB．P

2、≥QD.P>Q【解析】　设m＝(x，y)，n＝(，)，则

3、ax＋by

4、＝

5、m·n

6、≤

7、m

8、

9、n

10、＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.【答案】　A4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D.(－，)【解析】　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－2≤a－b≤2.【答案】　A5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为(　　)A．1B．2C.D.【解析】　＋＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.∵a＋b＝1，ab≤＝，∴a2

11、＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，∴＋≥＋4＝.【答案】　C二、填空题6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．【解析】　由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，于是2x＋y≤.【答案】　7．设xy＞0，则·的最小值为________．【解析】　原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．【答案】　98．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．【解析】　(x＋2y)＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时

12、，“＝”成立．又x＋2y＝8，∴＋≥.【答案】　三、解答题9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.【证明】　设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则

13、a＋b

14、＝＝

15、m·n

16、≤

17、m

18、

19、n

20、＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.【证明】　因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.[能力

21、提升]1．函数y＝＋2的最大值是(　　)A.　　　　B.C．3　　　　D．5【解析】　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.【答案】　B2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)A.　　　　B．1C．3　　　　D．9【解析】　∵2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝.∴2x＋y的最大值为.【答案】　A3．函数f(x)＝＋的最大值为______．【导学号：32750051】【解析】　设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝≤(1＋2)＝，∴f(x)≤，当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．【答案】　4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．【

22、解】　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．由柯西不等式l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R，当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.德育教育融入小学课堂教学的有效对策随着我国小学德育教育不断提档升级，在小学课堂教学中进行德育渗透，日益成为现代小学品德教育的重要目标与方向。在小学教育阶段，是学生形成自身道德体系的关键时期，利用小学课堂教学开展德育教育，可以实现小学生个人思想品格的形成与塑造。在小学课堂教学体系中，蕴含着大量的德育

23、知识与德育教育资源，如何将德育教育与课堂教学有机融合，是现代德育教学探索的主要方向，同时也是我们日常教学的出发点和着力点。一、营造良好的课堂氛围，充分利用教学资源在小学教育阶段，课堂是培养和激发学生道德意识的重要载体和平台。在道德培养的过程中，最为重要的就是要打造新型民主课堂，让学生在课堂中准确找到自己的位置，明确自身在课堂以及生活中权利义务，强化提升个人道德意识，构建自身的认知体系。在小学教学课堂上，教师要向学生灌输道德意识，在向学生提出要求的过程当中，要构建平等的话语体系，与