小学奥数：4-4-2 圆与扇形（二）.教师版

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1、圆与扇形例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积；扇形的面积；圆的周长；扇形的弧长．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．比如：扇形的面积所在圆的面积；扇形中的弧长部分所在圆的周长扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于

2、扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块二曲线型面积计算【例1】如图，已知扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是________．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇形的面积为，所以，，得到

3、，即角的度数是60度．【答案】60度【例2】如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度()【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】,三角形内两扇形面积和为，根据扇形面积公式两扇形面积和为,所以,.【答案】60度【例3】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】小圆的面积为，则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为，而，所以大圆半径为厘米．【答案】7.5【例1】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡

4、皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(取3)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于6个线段与6个弧长之和．将图中与弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是，所以弧所对的圆心角是，6个弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段等于塑料管的直径，由此知绳长为：(厘米)．【答案】45【例2】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？()【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图，点是在以为中心的扇形上，所以，同理，则是正三角形，同理，有是正三角形．有，

5、正五边形的一个内角是，因此，也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是．【答案】12.56【例1】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的，则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例2】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分

6、面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为，则，，所以．移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例3】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积，小圆面积，个小圆总面积，边角料面积(平方厘米)．【答案】8【例1】如图，若图中的

7、圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积，再加上的小扇形面积(即小圆面积)，所以相当于大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的倍，那么阴影部分面积为．【答案】2.5【例2】如图所示，求阴