七年级数学下册 8.4 因式分解导学案 (新版)沪科版

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1、8.4　因式分解1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力．2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解．3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．1．因式分解(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．(2)因式分解的注意事项①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．②分解因式的对象必须是多项式，如把5a2bc分解成5a·abc就不是分解因式，因

2、为5a2bc不是多项式；再如把－1分解为也不是分解因式，因为－1不是整式．③分解因式的结果必须是积的形式，如x2＋x－1＝x(x＋1)－1就不是分解因式，因为结果x(x＋1)－1不是积的形式．④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x2－x＝x2就不是分解因式，因为x2不是整式的乘积形式．⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1.如4x2－6x＝x(4x－6)．结果中的因式4x－6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x2－6x＝2x(2x－3)．【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是(　　)．A．x2y＋x＝x2B．x2－

3、4－3x＝(x＋2)(x－2)－3xC．ab2－2ab＝ab(b－2)D．(x－3)(x＋3)＝x2－9解析：选项A右边的其中一个因式不是整式，不符合；选项B的结果不是整式的乘积，只分解了一部分；选项D是整式乘法；选项C符合因式分解的意义，故选C．答案：C分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：n(a＋b＋c)na＋nb＋nc，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要是整式，二要是多项式．【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？(1)12a2b＝3a·4ab；(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9

4、；(3)4x2－8x－1＝4x(x－2)－1；(4)2ax－2ay＝2a(x－y)；(5)a2－4ab＋b2＝(a－2b)2.解：(1)不是分解因式．因为等号左边必须是一个多项式，而12a2b是单项式．(2)不是分解因式．因为等号左边(x＋3)(x－3)是积的形式，右边x2－9是一个多项式，不符合分解因式的定义．(3)不是分解因式．因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x(x－2)－1不是整式积的形式．(4)是分解因式．因为等号左边2ax－2ay是一个多项式，且等号右边2a(x－y)是整式积的形式．(5)不是分解因式．因为分解因式是多项式的恒等变形，左右两边必须

5、相等，而此题左边＝a2－4ab＋b2；右边＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2.因为左、右两边不相等，即不是恒等变形，当然不是分解因式．判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必须是乘积的形式．2．因式分解的基本方法——提公因式法(1)公因式的意义多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab＋ac＋ad中，各项都含有因式a，故a是这个多项式的公因式．(2)公因式的确定准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式

6、，其方法如下：①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的．如：多项式4x4＋6x2＋12x3y中，系数的最大公约数是2，相同字母为x，它的最低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x2.③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：(b＋a)n＝(a＋b

7、)n(n为正整数)，(b－a)n＝(a－b)n(n为偶数)，(b－a)n＝－(a－b)n(n为奇数)．【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：(1)4x2y3z＋12x3y4；(2)(x＋1)2y3－12(x＋1)3y4；(3)12xny2n＋16xn－1yn＋1(n为大于1的整数)．解：(1)系数4和12的最大公约数为4，相同字母有x和y，x的最低次数是2，y的最低次数是3，所以公因式为4x2y3.(2)系数和12，分母的最小公倍数是7，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数为，有相同的因式(x＋1)和相同的字母y，(x＋1)的最低