资源描述：
《数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁添加平行线证题,一般有如下四种情况1为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要例1设P、Q为线段B上两点,且BP＝Q,A为B外一动点(如图1)当点
2、A运动到使∠BAP＝∠AQ时,△AB是什么三角形？试证明你的结论答：当点A运动到使∠BAP＝∠AQ时,△AB为等腰三角形证明：如图1,分别过点P、B作A、AQ的平行线得交点D连结DA在△DBP＝∠AQ中,显然∠DBP＝∠AQ,∠DPB＝∠由BP＝Q,可知△DBP≌△AQ有DP＝A,∠BDP＝∠QA于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形故AB＝DP所以AB＝A这里,通过作平行线,将∠QA“平推”到∠BDP的位置由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺
3、畅例2如图2,四边形ABD为平行四边形,∠BAF＝∠BE求证：∠EBA＝∠ADE证明：如图2,分别过点A、B作ED、E的平行线,得交点P,连PE由ABD,易知△PBA≌△ED有PA＝ED,PB＝E显然,四边形PBE、PADE均为平行四边形有∠BE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE由∠BAF＝∠BE,可知∠BAF＝∠BPE有P、B、A、E四点共圆于是,∠EBA＝∠APE所以,∠EBA＝∠ADE这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起∠APE成为∠EBA与∠AD
4、E相等的媒介,证法很巧妙2欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题例3在△AB中,BD、E为角平分线,P为ED上任意一点过P分别作A、AB、B的垂线,、N、Q为垂足求证：P＋PN＝PQ证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作B的平行线分别交PQ、A于、G,连PG由BD平行∠AB,可知点F到AB、B两边距离相等有Q＝PN显然,＝＝,可知PG∥E由E平分∠BA,知GP平分∠FGA有P＝P于是
5、,P＋PN＝P＋Q＝PQ这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得P＝P,就有P＋PN＝PQ证法非常简捷3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化这在平面几何证题中是会经常遇到的例4设1、2是△AB的B边上的点,且B1＝2任作一直线分别交AB、A、A1、A2于P、Q、N1、N2试证：＋＝＋证明：如图4,若PQ∥B,易证结论成立若PQ与B不平行,设PQ交直线B于D过点A作PQ的平行线交直线B于E由
6、B1＝2,可知BE＋E＝1E＋2E,易知＝,＝,＝,＝则＋＝＝＝＋所以,＋＝＋这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解例AD是△AB的高线,为AD上一点,B交A于E,交AB于F求证：∠FDA＝∠EDA证明：如图,过点A作B的平行线,分别交直线DE、DF、BE、F于Q、P、N、显然,＝＝有BD•A＝D•AN(1)由＝＝,有AP＝(2)由＝＝,有AQ＝(3)对比(1)、(2)、(3)有AP＝AQ显然AD为PQ的中垂线,故AD
7、平分∠PDQ所以,∠FDA＝∠EDA这里,原题并未涉及线段比,添加B的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去例6在△AB中,AD是B边上的中线,点在AB边上,点N在A边上,并且∠DN＝90°如果B2＋N2＝D2＋DN2,求证：AD2＝(AB2＋A2)证明：如图6,过点B作A的平行线交ND延长线于E连E由BD＝D,可知ED＝DN有△BED≌△
8、ND于是,BE＝N显然,D为EN的中垂线有E＝N由B2＋BE2＝B2＋N2＝D2＋DN2＝N2＝E2,可知△BE为直角三角形,∠BE＝90°有∠AB＋∠AB＝∠AB＋∠EB＝90°于是,∠BA＝90°所以,AD2＝＝(AB2＋A2)这里,添加A的平行线,将B的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路例7如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB过D作AB的垂线,交半圆于求证：D平分EF证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、
