多边形的面积和面积变换.doc

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1、多边形的面积和面积变换竞赛讲座32－多边形的面积和面积变换本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍所用知识不多，简列如下：（1）全等形的面积相等；（2）多边形的面积定理（三角形、梯形等，略）；（3）等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等（对梯形底相等应理解为两底和相等）；（4）等底（等高）的三角形，平行四边形，梯形的面积比等于这底上的高（这高对应的底）的比以下约定以△AB同时表示△AB的面积1．多边形的面积例1（第34届美国中学数学竞赛题）在图23-1的平面图形中，边AF与D平行，B与ED平行，各边长

2、为1，且∠FAB=∠BD=，该图形的面积是（）（A）（B）1（）（D）（E）2分析将这个图形分解为若干个基本图形——三角形，连BF、BE、BD得四个与△ABF全等的正三角形，进一步计算可得图形面积为所以选（D）例2（第届美国数学邀请赛试题）如图23-2五条线段把矩形ABD分成了面积相等的四部分，其中X=B+B+Z=Z=D+DA+AX，而PQ平行于AB如果B=19，PQ=87，则AB的长度等于_________分析如图,延长PQ交AD、B于E、F由B+B+Z=D+DA+AX知a+=b+d,又梯形PQZ与梯形PQX面积相等,故E、F分别为AD、B的

3、中点而SAXPD=SBQZ，∴EP=QF，设为e由SAXPD=SPQZ得∴2e=106，∴AB=2e+87=193例3如图23-3四边形ABD的两边BA和D相交于G，E、F各为BD、A的中点试证：△EFG的面积等于四边形ABD面积的四分之一分析注意到E、F各为BD、A的中点，连结EA、E和FD则如果能够证明△EFG的面积等于四边形AEFD的面积，问题即可解决为此，取AD的中点P，连PE、PF，则PE∥GB，PF∥G于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP而△PEF公用∴△GEF=SAEFD至此，问题得解证明略2．利用面积变换解几何题先看一个例

4、子例4以直角三角形AB的两直角边A、B为一边各向外侧作正方形ADE、BGH，连结BE、AH分别交A、B于P、Q求证:P=Q证明(如图23-4)显然S△GQ=S△HQ，∵HB∥AG，∴S△GQ=S△AH=S△AB同理,S△BDP=S△AB∴S△AGQ=S△BDP,∴Q•AG=P•BD∵AG=A+G=D+B=BD，∴P=Q此例是关于平面图形中线段的等式，看似与面积无关，然而我们却利用图形之间面积的等量关系达到了证明的目的这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手研究图形的度量关系和位置关系的方法即所谓面积变换例(第37届美国

5、中学数学竞赛题)图23-中,ABDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向D、B和DE的延长线上所引的垂线设是正五边形的中心,若P=1,则A+AQ+AR等于()（A）3（B）1+（）4（D）2+(E)分析因题设中AP、AQ、AR分别与D、B、DE垂直，这就便于利用面积作媒介注意到即由D=B=DE，则AP+AQ+AR=•P故A+AQ+AR=4应选（）例6（第37届美国中学数学竞赛题）不等边三角形AB的两条高的长度分别为4和12若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（）（A）4（B）（）6（D）7（E）不同于（A）-（D）的答案解设△

6、AB第三边上的高为h，面积为S，则该三角形的三边可表示为显见＞据“三角形两边之和大于第三边”有+＞，+＞解得3＜h＜6所以选（B）例7图23-6中，已知AB是直角三角形AB的斜边，在射线A、B上各取一点、，使P、Q是△AB内两点，如果P，Q到△AB各边的距离之和相等，则PQ∥；反之亦然证明设P、Q到△AB各边的距离之和分别为S（P），S（Q）连PA、PB、P、P，不难发现△APB+△AP+△PB-△P=△AB-△（定值）于是=同理，显然，当S（P）=S（Q）时，，∴PQ∥反之，当PQ∥时，∴S（P）=S（Q）3．一个定理的应用定理已知△AB、△

7、DB共边B，AD交B或其延长线于E，则分析当B或点与E重合时，结论显然成立当B、都不与E重合时，有两种情况：若E在B之间，由△ABE=易知结论成立；若E在B之外类似可证证明略这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题例8(1987年全国初中数学联赛试题)如图23-8已知四边形ABD内有一点E,连接AE、BE、E、DE，将四边形ABD分成四个面积相等的三角形，那么命题（）甲ABD是凸四边形;此处无图乙E是对角线A的中点或对角线BD的中点;丙ABD是平行四边形中(A)只有甲正确(B)只有乙正确()甲、乙、丙都正确（D）甲、乙、丙都不正确分析如果A

8、BD是以A为对称轴的凹四边形，易见A的中点具有题中E点所要求的性质，所以甲、丙都不正确设AE、BE、E、DE将四边形ABD分成四个面积相等的三角形，B