竞赛讲座 32多边形的面积和面积变换

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1、竞赛讲座32－多边形的面积和面积变换本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍.所用知识不多，简列如下：（1）      全等形的面积相等；（2）      多边形的面积定理（三角形、梯形等，略）；（3）      等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等（对梯形底相等应理解为两底和相等）；（4）      等底（等高）的三角形，平行四边形，梯形的面积比等于这底上的高（这高对应的底）的比.以下约定以△ABC同时表示△ABC的面积.1． 多边形的面积例1 （第34

2、届美国中学数学竞赛题）在图23-1的平面图形中，边AF与CD平行，BC与ED平行，各边长为1，且∠FAB=∠BCD=，该图形的面积是（  ）（A） （B）1 （C） （D） （E）2分析 将这个图形分解为若干个基本图形——三角形，连BF、BE、BD得四个与△ABF全等的正三角形，进一步计算可得图形面积为.所以选（D）.学通教育资源库www.xuetongedu.com中小学理科培优专业机构例2         （第5届美国数学邀请赛试题）如图23-2五条线段把矩形ABCD分成了面积相等的四部分，其中X

3、Y=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，则AB的长度等于_________.分析 如图,延长PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ与梯形PQYX面积相等,故E、F分别为AD、CB的中点.而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，设为e.由SAXPWD=SPQZW 得∴2e=106，∴AB=2e+87=193.例3.如图23-3四边形ABCD的两边BA和CD相交于G，E、F各为BD、AC

4、的中点.试证：△EFG的面积等于四边形ABCD面积的四分之一.分析 注意到E、F各为BD、AC的中点，连结EA、EC和FD.则如果能够证明△EFG的面积等于四边形AEFD的面积，问题即可解决.为此，取AD的中点P，连PE、PF，则PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，问题得解.证明略.学通教育资源库www.xuetongedu.com中小学理科培优专业机构2． 利用面积变换解几何题先看一个例子.例4.以直角三角形ABC的两直角

5、边AC、BC为一边各向外侧作正方形ACDE、BCGH，连结BE、AH分别交AC、BC于P、Q.求证:CP=CQ.证明(如图23-4)显然S△GCQ=S△HCQ，∵HB∥AG，∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.同理,S△BDP=S△ABC.∴S△AGQ=S△BDP,∴CQ·AG=CP·BD.∵AG=AC+GC=DC+BC=BD，∴CP=CQ.此例是关于平面图形中线段的等式，看似与面积无关，然而我们却利用图形之间面积的等量关系达到了证明的目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量

6、关系和位置关系的方法即所谓面积变换.学通教育资源库www.xuetongedu.com中小学理科培优专业机构例5 (第37届美国中学数学竞赛题)图23-5中,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延长线上所引的垂线.设O是正五边形的中心,若OP=1,则AO+AQ+AR等于(  ).（A）3 （B）1+（C）4 （D）2+ (E)5分析 因题设中AP、AQ、AR分别与CD、CB、DE垂直，这就便于利用面积作媒介.注意到即由CD=BC=DE，则AP+AQ+AR=5·OP故AO+A

7、Q+AR=4.应选（C）.学通教育资源库www.xuetongedu.com中小学理科培优专业机构例6 （第37届美国中学数学竞赛题）不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12.若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（  ）.（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（E）不同于（A）-（D）的答案解 设△ABC第三边上的高为h，面积为S，则该三角形的三边可表示为显见＞.据“三角形两边之和大于第三边”有+＞，+＞.解得3＜h＜6.所以选（B）.例7        图23-6中，已知AB是直角三角形

8、ABC的斜边，在射线AC、BC上各取一点、，使P、Q是△ABC内两点，如果P，Q到△ABC各边的距离之和相等，则PQ∥；反之亦然.学通教育资源库www.xuetongedu.com中小学理科培优专业机构证明 设P、Q到△ABC各边的距离之和分别为S（P），S（Q）.连PA、PB、P、P，不难发现△APB+△AP+△PB-△P=△ABC-△C（定值）.于是=同理，显然，当S（P）=S（Q）时，，∴PQ∥反之，当PQ∥时，∴S（P）=S（Q）.3． 一个定理