几何图形（一）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题几何图形（一）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核张舒我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。它们的面积及周长都可用相应的公式直接计算。实际问题中，有些图形并不以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑而成，它们的面积及周长无法用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。不规则图形的一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之

2、转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。跟曲线有关的图形元素：扇形是由顶点在圆心的角的两边和这两边所截的一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分。我们经常说的圆、圆、圆等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几。那么它的一般求法是什么呢？关键是。比如：扇形的面积＝所在圆的面积×圆与扇形的相关公式：圆的面积扇形的面积＝圆的周长＝扇形的弧长＝例1如图所示，已知点O是圆心，圆中直角三角形的面积是30平方厘米，求圆的面积。（π取3.14）第8页版权所有不得复制分析与解：图中直角三角形的底和高都是圆的半径，设圆的半径为

3、r，因此这个直角三角形的面积是×＝30（平方厘米），由此可以得到＝60（平方厘米）。圆的面积等于r的平方乘以π，所以，圆的面积为60×3.14＝188.4（平方厘米）。例2求下图中阴影部分的面积是多少？分析与解：首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没学习过如何求“号角”的面积，那该怎么办呢？阴影部分我们找不到直接求解的方法，那么不妨考虑一下阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的长方形面积减去正方形面积，即阴影部分的面积为。例3正方形ABCD

4、的边长为10厘米，分别以B、D为圆心，10厘米长为半径画圆。求阴影部分的面积。（π取3.14）分析与解：解法一：此图可以看做是由两个扇形相互叠加而成的，因此阴影部分的面积等于两个扇形面积之和减去正方形的面积。所以阴影部分的面积是3.14×××2－＝157－100＝57（平方厘米）。解法二：如下图所示，连接AC，将阴影部分分成两个完全相同的部分，第8页版权所有不得复制每部分的面积等于扇形面积与等腰直角三角形的面积之差。因为扇形的面积是3.14××＝78.5（平方厘米）；等腰直角三角形的面积是10×10÷2＝50（平方厘米），所以阴影部分的面积是（78.5－50）×2＝57（

5、平方厘米）。例4下图中正方形的面积是8平方厘米，求圆的面积。（π取3.14）分析与解：设圆的半径为r，因为，所以＝×＝8×＝2π＝2×3.14＝6.28（平方厘米）。例5下图中正方形的面积是12平方厘米，求圆的面积。（π取3.14）分析与解：设圆的半径为r，因为＝×对角线×对角线＝×2r×2r＝2＝12，所以＝6，因此圆的面积＝π＝3.14×6＝18.84（平方厘米）。例6大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取）第8页版权所有不得复制分析与解：如图添加辅助线：小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分

6、就是一个圆的内接正方形。设大圆半径为，则，，所以。移动图形是解这类题的最佳方法，一定要找出图形之间的关系。例7如图所示，已知长方形ABCD与圆O的面积相等，长方形的宽与圆的半径相等，且圆的周长为20厘米，圆与长方形之间的距离AP为8厘米。现在圆和长方形同时沿直线PA向右平行运动，若圆的运动速度是5厘米/秒，长方形的运动速度是3厘米/秒，那么运动4秒后，在长方形内部与圆无重叠部分的封闭图形的周长是多少？分析与解：圆与长方形之间的距离AP为8厘米。4秒后，长方形向右平移3×4＝12（厘米），圆向右平移5×4＝20（厘米），则圆与长方形重叠的方式如下图：设长方形的长为a，因为长

7、方形的宽等于圆的半径，圆的面积等于长方形的面积，所以π×r×r＝a×r，则a＝πr。阴影部分的周长＝AB＋BC＋EC＋×圆的周长第8页版权所有不得复制＝πr＋r＋（πr－r）＋×2πr。例8图中等腰直角三角形的腰长为8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（取3.14）分析与解：观察图形可知，阴影部分的面积等于两个半圆的面积之和减去等腰直角三角形的面积。设圆的半径为r，根据题意可知，2r＝8，解得r＝4。＝×2－＝π×÷2×2－2r×2r÷2＝3.14×－8×8÷2＝50.24－32＝18.