国家集训队2008论文集计算几何中的二分思

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1、计算几何中的二分思想——贵阳市第一中学程芃祺【摘要】本文简要阐述了计算几何中的二分思想，并通过例题对其进行应用，体现二分在计算几何中简洁高效的优势。【关键字】计算几何二分【引言】二分思想，古已有之，邵子曰：“一分为二，二分为四，四分为八也。”正是根据这样的思想，我们的祖先创造了太极八卦。在当今的信息时代中，这一古老的智慧依旧闪耀着光芒，通过渗透到各门新兴学科中发扬光大，计算几何学就是其中之一。在此基础上，产生了无数经典算法，例如用分治法求解最近点对、凸包、三角剖分和空间分区二叉树。在近年来的各类信息学竞赛中，不断涌现了大批关于计算几何的试题，其中许多复杂的题

2、目可以利用二分思想得到简单解决。掌握了这一思想，无疑是多了一把解决相关问题的利器。【例题解析】下面，就让我们通过几个例题，一起探究二分思想的应用。例题一、SimplifiedGSMNetwork(2005ACM/ICPCWorldFinals)题意：已知B（1≤B≤50）个信号站和C（1≤C≤50）座城市的坐标，坐标的绝对值不大于1000，每个城市使用最近的信号站。给定R（1≤R≤250）条连接城市线路的描述和Q（1≤Q≤10）个查询，求相应两城市间通信时最少需要转换信号站的次数。分析：显然，题目要求的是最短路，关键在于线路权值的计算。题目中告诉我们：每个城

3、市使用最近的信号站，也就是说，该城市所处位置位于平面中离这一信号站最近的点的轨迹内，而离各点最近点的轨迹就是Voronoi图。因此，每条路线的权值就是这条线段所穿过的Voronoi边的数量。由上可看出，题目即为求Voronoi图与最短路的简单组合，只需分别解决。通过以上的分析，我们发现了一种最直接的办法：先求Voronoi图，再求最短路。此法时间效率也足以通过测试，可是求Voronoi图的编程复杂度很高、调试麻烦，在真实的竞赛环境中实用性不强。有没有更好一点的解法呢？考虑一条线段l，如果l两端点所属的信号站相同，显然l的权值为零，否则将l从中点（红点）分为两

4、部分（分割点不在Voronoi边上）l1和l2，l所对应的权值自然就等于l1和l2的权值之和。然后，对l1和l2进行同样的操作。由于不可能无限的分割下去，当两端点的距离小于某个设定的小正常数e（实验证明e∈[10-10,10-5]均能AC），并且与两端点所属信号站不同（蓝点），两点之间就一定存在一条Voronoi边与线段相交，该段权值为一。利用上述办法，可以在不作Voronoi图的情况下，简单地求出各边的权值，避免了冗长的代码；之后使用Floyd或Dijkstra等最短路算法，问题即可完整解决。小结：计算几何有许多诸如Voronoi图的经典模型，在方便思考的

5、同时，也会让我们陷入固有的思维定势，难以自拔。当原有的模型不能方便地解决问题时，就需要另辟蹊径，跳出传统思维来考虑问题。在本例中，通过二分思想，将一条线段分为两半，利用分治法解出问题，使题目化繁为简，易于编程，避开了求作Voronoi图的套路。例题二、CollectingLuggage(2007ACM/ICPCWorldFinals)题意：已知一简单N（3≤N≤100）边形的各顶点坐标，行李箱从第一个顶点以速度Vl沿多边形边界移动，人从点（px，py）出发，速度为Vp（0

6、为米），求人最快取得行李的时间（精确到秒）。分析：乍一看，题目似乎与最短路有密切的联系，然而目标点随时间在改变，可以在多边形边界上的任何一点，所求是一个动态过程。要计算到达一个顶点所需的时间，是个很简单的问题，但是怎样抵达最后的目的地呢？这正是题目的难点所在。首先，考虑简单情形：人站在原始位置，行李在一条直线上移动，初始时位于（x0，y0）处，以速度Vl=（a，b）移动。人在t时刻取得行李，此时行李坐标为（at+x0，bt+y0），可得如下关系：利用以上公式，可以求出任意一组点到直线的动态最短距离，对于题目中的线段，只需附加目的点在线段上这一条件就能求解。得

7、到了距离公式，问题似乎已经大部分被解决，可是当我们把它搬到多边形中时，却发现问题并不是我们想象中的那么简单：如图所示，点不一定能够沿直线到达边，也不一定就能沿直线到达可达边的全部。这样一来，还必须求出可达范围，并且枚举人和行李移动至各点各边的情况，问题的复杂性大大增加。怎样才能简化复杂的过程？其实，关键之处在于“化动为静”，把题目中的动态过程转化为静态。假设人“暂停”，行李先经过t时间运动到一点，如果行李静止在边上，只需再建立一个顶点，把边拆成两段，则可以很轻松地求出最短距离，人再花t时间行走，看能否取得行李，即比较求得的距离与人行距离的大小。这样的做法，可

8、以知道人是否可以在规定时间内完成动作，但一秒一秒枚举