国家集训队2008论文集 计算几何中的二分思

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1、计算几何中的二分思想贵阳市第一中学程芃祺引言二分思想，古已有之，邵子曰：“一分为二，二分为四，四分为八也。”正是根据这样的思想，我们的祖先创造了太极八卦。在当今的信息时代中，这一古老的智慧依旧闪耀着光芒，通过渗透到各门新兴学科中发扬光大，计算几何学就是其中之一。7/19/20212引言经典算法：分治法求凸包最近点对三角剖分空间分区二叉树etc…7/19/20213引言在近年来的各类信息学竞赛中，不断涌现了大批关于计算几何的试题，其中许多复杂的题目可以利用二分思想得到简单解决。掌握了这一思想，无疑是多了一把解决相关问题的利器。。7/19/20214例题解析例一、S

2、implifiedGSMNetwork例二、CollectingLuggage例三、Heliport例四、FlightSafety7/19/20215例题解析例一、SimplifiedGSMNetwork例二、CollectingLuggage例三、Heliport例四、FlightSafety7/19/20216例一、SimplifiedGSMNetwork已知B（1≤B≤50）个信号站和C（1≤C≤50）座城市的坐标，坐标的绝对值不大于1000，每个城市使用最近的信号站。给定R（1≤R≤250）条连接城市线路的描述和Q（1≤Q≤10）个查询，求相应两城市间通

3、信时最少需要转换信号站的次数。7/19/20217例一、SimplifiedGSMNetwork如右图所示，从城市1到城市6最少需要转换2+1+0=1+1+1+0=3次信号。7/19/20218例一分析最短路问题怎样计算边的权值？“每个城市使用最近的信号站”——Voronoi图转换信号站穿过一条Voronoi边边权＝两点连线段穿过Voronoi边的次数7/19/20219例一分析——解法一通过以上的分析，不难得出以下算法：①求Voronoi图；②求最短路。思维清晰、时间效率高代码量大、不易编程和调试杀鸡焉用牛刀！！能不能不求Voronoi图？？7/19/202

4、110例一分析——解法二二分！l的两端点所属信号站相同：w[l]=0。否则若

5、l

6、

7、个只由水平边和垂直边构成的（简单）N（1≤N≤20）边形屋顶，每边长为不超过50的正整数，要在上面修建一个圆形直升机场，求最大半径（图中为10）。7/19/202114例三分析——解法一最大内切圆最优解必定贴住三个顶点或边d1=d2=d3，两个方程，两个未知数（x，y），分别求解。di为圆心到点（记作P）、水平边（记作H）或垂直边的距离（记作V）。7/19/202115例三分析——解法一共十种组合：PPP、PPH、PPV、PHH、PVV、PHV、HHV、HVV、HHH、VVV。HHH与VVV不成立，故有八种。列出八种方程，解出圆心坐标和半径。思维复杂度低计算复杂

8、、容易出错、情况繁多7/19/202116例三分析——解法一7/19/202117例三分析——解法二还能减少一些情况吗？d1=d2=d3=rd1=d2=r半径未知，两个方程，三个未知数。方程类型：八种四种（PP、PH、PV、HV）7/19/202118例三分析——解法二r从哪里来？二分！算法：二分半径，代入每种情况的方程求解圆心坐标，判断是否存在解，调整直到满足精度要求。7/19/202119例三小结计算几何细节“差之毫厘，失之千里”二分思想，化零为整简化计算，降低思维复杂度和编程复杂度7/19/202120总结计算几何学博大精深，相关的题目可谓是千变万化，

9、解法也无定势可言，一些经典问题稍加修改之后，用传统方式解题可能就毫无优势可言。这要求我们必须跳出思维定势，采用全新的思想，二分思想就是其中不可或缺的一员。7/19/202121总结通过对以上几个例题的分析，我们对二分思想在计算几何中的应用又有了新的认识。具备了这一思想，可以使题目化繁为简、化动为静、化零为整、化求为证，用简单方法解答题目，减省了纷繁的细节处理和约束关系，简洁高效地得到令人满意的结果。可以说，二分带给我们一种全新的思路，是成功解决计算几何问题的一把利器。7/19/202122谢谢大家7/19/202123八种方程的解7/19/202124八种方程的

10、解7/19/202125