数值分析报告方案设计典型例地的题目

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1、第一章典型例题例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。ln2»0.693第二章典型例题例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解x3=－1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代格式(k=1,2,3,…)第1次迭代,k=0X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T第2次迭代，k=1X(2)＝(5,－3,－3)

2、T第3次迭代，k=2X(3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k=3X(4)＝(1,1,1)T例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为A＝于是D＝D－1＝D雅可比迭代矩阵为B0＝得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯－赛德尔迭代矩阵为G＝－＝－解得特征根为l1=0，l2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。例5填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。答案：解答选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x

3、1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中＝(k=0,1,2,…)答案：解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上x1的新值。第三章典型例题例1已知函数y=f(x)的观察数据为xk－2045yk51－31试构造拉格朗日插值多项式Pn(x)，并计算f(－1)的近似值。[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]解先构造基函数所求三次多项式为P3(x)=＝＋－＋＝f(－1)»P3(－1)＝例3设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明：(1)(2)证明(1)Pn

4、(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=当f(x)º1时，1＝由于，故有(2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,…,n，对固定xm(0£m£n),作拉格朗日插值多项式，有当n>m－1时，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以注意：对于次数不超过n的多项式,利用上结果，有==上式正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。n=5。a0,a1满足

5、的法方程组是kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5解得a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x例6选择填空题1.设y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A)(B)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)(C)

6、(D)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。第四章典型例题例1试确定求积公式的代数精度。[依定义，对xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]解当f(x)取1,x,x2,…时，计算求积公式何时精确成立。(1)取f(x)=1,有左边＝,右边＝(2)取f(x)=x,有左边＝,右边＝(3)取f(x)=x2,有左边=,右边=(4)取f(x)=x3,有左边=,右边=(5)取f(x)=x4,有左边=,右边=当k£3求积公式精确成立，而x4公式不成

7、立，可见该求积公式具有3次代数。例5试确定求积公式中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。解公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有,即h=h,不能确定a，再令f(x)=x2,代入求积公式，得到,即得.求积公式为将f(x)=x3代入上求积公式，有可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有所以该求积公式具有三次代数精度。例6选择填空题1.牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是。解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题

8、例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令