第三讲几何变换地的应用

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1、实用标准文档第三讲全等变换的应用全等变换的复习与九上证明二和证明三的衔接【核心讲解】在第一讲我们知道，全等变换是指对图形的旋转、平移以及对折（对称）．应用全等变换可以解决许多平面几何问题，使用这种解决问题的方法对于理清解题思路、简化解题步骤有着不可替代的作用，并且对难度较大的一些平面几何问题的解决有化难为易的奇效．通过学习，首先应明白应用全等变换的目：一是将题目中所给的分散的条件加以拼合，组成某种特殊关系或者特殊形状的图形．二是将结论中或所要求解的线段、角等加以拼合，使得它们处在同一个基本图形中，从而达到方便解题的目的．下面，我们就通

2、过例题来说明，如何利用全等变换解证几何问题的．【思维体验】一、旋转变换的应用ABCDE【例1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE//BC且DE=½BC．例1图【反思与小结】1．当题设中涉及到具有公共点的相等线段（特别是已知线段的中点）时，可以考虑使用旋转变换，以这个公共点（或线段中点）为旋转中心，通过旋转使相等的线段重合．2．本例证明的是几何中一个很重要的定理——三角形中位线定理：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．同学们可证明另一个定理：过三角形一边中点

3、与另一边平行的直线，必平分第三边．ABCMDN【例2】如图，点M、N在正方形ABCD边BC、CD上，已知△MCN的周长是正方形ABCD的周长的一半，求证：∠MAN=450【点拨】注意到∠DAB=90°，所以只需证明∠MAN=∠DAN+∠MAB．如何使∠DAN与∠MAB“合二为一”呢？例2图【反思与小结】旋转变换是几何变换中比较常见的一种变换，它在几何求解题、证明题、作图题中都有着广泛的应用，当题设中涉及到正多边形（等边三角形、正方形、正六边形等）的情形时，采用旋转变换将分散的元素集中或将有关条件建立起联系，可收到事半功倍之效。掌握旋转

4、变换的应用，对进行初等几何教学具有很好的指导作用。二、平移变换的应用【例3】如图，△ABC中，BD、CE是AB、AC边上的中线，且BD=CE．求证：AB=AC精彩文案实用标准文档ABECD【点拨】将分散的条件“BD、CE是…且BD=CE”，集中于一个三角形内（构成三角形的两条边）以便于利用这个条件．【解】例3图【反思与小结】此为将分散条件通过平移而集中的一例，又是线段的平移．通常如本例所那样，是通过构造平行四边形来平移线段的．平移之后还要利用平移的性质，找出图中线段、角的等量关系.利用所找的等量关系和已知条件，确定解题方法并作出解答.

5、【例4】（2009年绥化中考题改编）如图：在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，FE的延长线分别交BA、CD的延长线于点M、N，若AB=CD．求证：∠BMF=∠CNFAMBECDFN【点拨】由于∠BMF与∠CNF看上去有些“错位”，因此需将它们通过变换“拉近”．例4图【反思与小结】此为将结论中分散图形通过平移而集中的一例，又是角的平移．角的平移可有两种方法：一是在该角的一条边上选取一个适当的点，过该点作角的另一边的平行线；二是在图形中选取一个适当的点，过该点分别作角的两边的平行线．通常情况下的，方法一优于方法二．在例2中，

6、需平移两个角，请注意这里是怎样利用中位线平移角的．ABCD三、对称变换的应用【例5】1．如图，△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC于D．求证：BD=AC+CD．【点拨】将条件中所涉及到的∠C移动位置，以便更好地利用条件∠C=2∠B．那么怎样移动∠C呢？例5图1精彩文案实用标准文档ABCD2．如图，△ABC中，AD是角平分线，若AB=AC+CD，求证∠C=2∠B．【点拨】注意利用角是以它的平分线为对称轴的图形添加辅助线，使∠C处于与∠B有密切关系的位置．例5图2【反思与小结】当题设中涉及垂线（或角平分线）时，可以考虑使用对称法添加辅助线

7、．这样，能够将垂线（或角平分线）一边的图形移动到这条垂线（或角平分线）的另一边．【例6】（2010年浙江台州中考题）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所

8、得到的结论．【点拨】对于（2），需添加辅助线构造三角形，以便利用三角形两边之和大于第三边来证明．图1图2图3图4【反思与小结】在解决某些几何问题时，可以选择某直线为对称轴，通过翻折，将不是轴对称的图形变为轴对称图形．或将