奥数：第五讲 排列组合

《奥数：第五讲 排列组合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五讲排列组合　　前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.　　看下面的例子.例1由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？分析注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以

2、要一类一类地考虑，再由加法原理解决.　　第一类：一位偶数只有0、2，共2个；　　第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；　　第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P23＋2×2）个；　　第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则共有P33个；若个位取2，则其他3位只能在0

3、、1、3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×P22个.所以，四位偶数共有（P33＋2×P22）种不同的取法.解：由加法原理知，共可以组成　　2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）　　＝2＋5＋10＋10　　＝27　　个不同的偶数.　　补充说明：本题也可以将所有偶数分为两类，即个位为0和个位为2的两类.再考虑到每一类中分别有一位、两位、三位、四位数，逐类讨论便可求解.例2国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要

4、同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？分析比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次.　　①中，第一组中8个队，每两队比赛一场，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.　　②中，由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.　　另外，还可以用排列的知识来解决.由于主

5、客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共比赛P24场.解：由加法原理：　　①实行单循环赛共比赛　　　　②实行主客场制，共需比赛　　2×（C28＋C27＋C24）＝110（场）.　　或解为：　　P28＋P27＋P24　　＝8×7＋7×6＋4×3　　＝56＋42＋12　　＝110（场）.例3在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个　　①三角形？　　②四边形？分析①我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的每三个点均不共线（由于A、B既可看成半圆上的点，又可看

6、成线段上的点，为不重复计算，可把它们归在线段上），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半圆弧上取（不含A、B两点）；第二类，三角形的两个顶点取在半圆弧上（不包含A、B），另一个顶点在线段上取（含A、B）；第三类，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点在线段上取.　　注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是组合问题.解：三个顶点都在半圆弧上的三角形共有　　　　　两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形共有　　　　　一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形共有　　　　　由加法原理，这12个点共可以组成　　C37＋（C27×C1

7、5）＋（C17×C25）　　＝35＋105＋70＝210（个）　　不同的三角形.　　也可列式为C312－C35＝220—10＝210（个）.分析②用解①的方法考虑.　　将组成四边形时取点的情况分为三类：　　第一类：四个点全在圆弧上取.（不包括A、B）有C17种取法.　　第二类：两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C27×C25种.　　第三类：圆弧上取3个点，直线上取1个点，有C37×C15种取法.解：依加法原理，这12个点共可组成：　　C