第2章 &amp#167;2.4 导集，闭集，闭包.doc

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1、§2.4　导集，闭集，闭包　　本节重点：　　熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；　　区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；　　掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；　　掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．　　如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．　　定义2.4.1　设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在

2、x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．　　即:(牢记)　　　　在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．　　某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间

3、都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．　　例2.4.1　离散空间中集合的凝聚点和导集．　　设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝．　　例2.4.2　平庸空间中集合的凝聚点和导集．　　设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：　　第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）　　第2种情形：A是一个单点集，令A＝{}如果x∈X，x≠，点

4、x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．　　第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X．　　定理2.4.1　设X是一个拓扑空间，AX．则　　（l）d（）=；　　（2）AB蕴涵d（A）d（B）；　　（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；　　（4）d（d（A））A∪d（A）．　　证明　（1）由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U，　　有U∩　　（2）设AB．如果．　　这证明了d（A）d（B）．　　（3）根据（2），因为A，BA∪B，所以有d（A），d（B）

5、d（A∪B），从而d（A）∪d（B）d（A∪B）．　　另一方面，如果　　　　综上所述，可见（3）成立．(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可．)　　（4）设：即（4）成立．　　定义2.4.2　设X是一个拓扑空间，AX．如果A的每一个凝聚点都属于A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．　　例如，根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．　　定理2.4.2　设X是一个拓扑空间，AX．则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集．　　证明　必要性：设A是一个闭集　　　　充分性：设：　

6、　　　即A是一个闭集．　　例2.4.3　实数空间R中作为闭集的区间．　　设a，b∈R，a＜b．闭区间[a，b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a，b]的补集=（-∞，a）∩（b，∞）是一个开集．　　同理，（-∞，a]，[b，∞）都是闭集，（-∞，∞）＝R显然更是一个闭集．然而开区间（a，b）却不是闭集，因为a是（a，b）的一个凝聚点，但a（a，b）．同理区间（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是闭集．　　定理2.4.3　设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则：　　（1）X，∈F　　（2）如果A，B∈F，则AUB∈F　　（从而如果)　　（3）如果≠　　在此定理的第（3

7、）条中，我们特别要求≠的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义．　　证明　根据定理2.4.2，我们有T={

8、U∈F}其中，T为X的拓扑．　　（1）∵X，∈T，∴　　（2）若A、B∈F，则　　（3）令：　　　　定理证明完成．　　总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．　　（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．　　定义2.4.3　设X是一个拓扑空间,AX,集合A与A的