【点集拓扑学】§2.4 导集, 闭集, 闭包

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1、§2.4　导集,闭集,闭包给定一个子集,拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同,可以对它们进行分类处理.定义2.4.1设X是一个拓扑空间,AX如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点,即U∩(A-{x})≠,则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集,记作d(A).如果x∈A并且x不是A的凝聚点,即存在x的一个邻域U使得U∩(A-{x})＝,则称x为A的一个孤立点.如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点,即U∩(A-{x})≠,则称点x是集合A的一个

2、凝聚点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集,记作d(A).如果x∈A并且x不是A的凝聚点,即存在x的一个邻域U使得U∩(A-{x})＝,则称x为A的一个孤立点.例2.4.1离散空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个离散空间,A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集都是开集,因此如果x∈X,则X有一个邻域{x},使得,于是x不是A的聚点.以上论证说明,集合A没有任何一个凝聚点,从而A的导集是空集,即d(A)＝.定理2.4.1设X是一个拓扑空间,AX,(l)d()=；(2)AB,则d(A)d(B);(

3、3)d(A∪B)＝d(A)∪d(B)；4)d(d(A))A∪d(A)定义2.4.2设X是一个拓扑空间,AX.如果A的每一个凝聚点都属于A,即d(A)A,则称A是拓扑空间X中的一个闭集.例如,根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见,离散空间中的任何一个子集都是闭集,而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.定理2.4.2设X是一个拓扑空间,AX.则A是一个闭集,当且仅当A的补集是一个开集.例2.4.3实数空间R中作为闭集的区间.设a,bR,a

4、=(-∞,a)∩(b,∞)是一个开集.同理,(-∞,a),[b,∞]都是闭集,(-∞,∞)＝R显然更是一个闭集.然而开区间(a,b)却不是闭集,因为a是(a,b)的一个凝聚点,但a(a,b).同理区间(a,b),[a,b],(-∞,a)和(b,∞)都不是闭集.定理2.4.3设X是一个拓扑空间.记F为所有闭集构成的族.则：(1)X,∈F(2)如果A,B∈F,则.(从而有限并封闭)(3)如果≠在此定理的第(3)条中,我们特别要求≠的原因在于,当=时,所涉及的交运算没有定义.总结：(1)有限个开集的交是开集,任意个开集的

5、并是开集.其余情形不一定.(2)有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.其余情形不一定.定义2.4.3设X是一个拓扑空间,AX.集合A与A的导集d(A)的并称为A的闭包，记为或.定理2.4.4拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=.定理2.4.5设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：定理2.4.6拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集.证明根据定理2.4.4和定理2.4.5(4)直接推得.定理2.4.7　设X是一个拓扑空间,F是由空间X中所有的闭某构成的族,则对于X的每一个子集A,有即集合A的闭包等

6、于包含A的所有闭集之交.在度量空间中,集合的凝聚点,导集和闭包都可以通过度量来刻画.定义2.4.5设(X,ρ)一个度量空间.X中的点x到X的非空子集A的距离ρ(x,A)定义为ρ(x,A)＝inf{ρ(x,y)

7、y∈A}定理2.4.9设A是度量空间(X,ρ)中的一个非空子集.则(1)xd(A)当且仅当ρ(x,A-{x})=0；(2)x当且仅当ρ(x,A)＝0.定理2.4.10设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y.则以下条件等价：(l)f是一个连续映射；(2)Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；(3)对于X中的任

8、何一个子集A,A的闭包的象包含于A的象的闭包,即(4)对于Y中的任何一个子集B,B的闭包的原象包含B的原象的闭包,即.总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P691.2